平面向量及其线性运算
教学内容:平面向量及其线性运算(2课时)
教学目标:理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义,掌握平面向量的线性
运算(向量加法、减法、数乘)的性质及其几何意义,理解平面向量共线的条件 和平面向量的基本定理.
教学重点:平面向量的线性运算.
教学难点:用基底表示平面内的向量.
教学用具:三角板
教学设计:
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的基本要素:大小和方向.
(2)向量的表示: ①几何表示法;用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的 方向表示向量的方向;②字母表示:a 或AB .
(3) 向量的长度(模):即向量的大小,记作||a 或||AB .
(4) 特殊的向量:零向量:0||0=⇔=a a ;单位向量:a 为单位向量⇔1||=a .
(5) 相等的向量:大小相等,方向相同的向量.
(6) 相反向量:b a -=⇔a b -=⇔0=+b a .
(7) 平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行(共线)向量,记作a ∥b .
2. 运算 运算法则 运算性质
向量加法 b a +是一个向量, 平行四边形法则
三角形法则 AC BC AB =+ a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++ 向量减法 b a -是一个向量,
三角形法则 AB OA OB =-
()a b a b -=+- AB BA =-
数乘向量 a λ是一个向量,
满足||||||a a λλ=,
0>λ时, a a λ与同向;
0<λ时, a a λ与异向;
0=λ时, 0a λ=. ()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+
3.(1)平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平 面内任一向量a ,有且仅有一对实数1λ,2λ,使2211e e a λλ+=. 其中不共线的向量1e ,2e 称为基底.
(2)向量共线定理:向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得a b λ=, 即a ∥b ⇔)0(≠=a a b λ.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确:
① 零向量没有方向;② 两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等; ③ 单位向量都相等;④ 在平行四边形ABCD 中,一定有DC AB =;
⑤ 若b a =,c b =,则c a =;⑥ 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;
⑦ b a =的充要条件是||||b a =且a ∥b ;⑧ 向量AB 就是有向线段AB ; ⑨若AB ∥CD ,则直线AB ∥直线CD ;⑩ 两相等向量若共起点,则终点也相同.
解:只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确,是因为有向线段仅仅是向量的直观体 现,我们可以用有向线段AB 来表示向量AB ,但向量AB 可以用不同的有向线段表示,只要 这些有向线段的长度相等方向相同即可,因此向量与有向线段是有区别的.
注:正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提.
例2 (1)化简下列各式:①CA BC AB ++;②BC CD AB ++)(; ③)()(CM BC MB AD +++;④CD OC OA ++-;⑤)(AM AD MB --.
(2)若B 是AC 的中点,则=AB AC ,=AB CA ,=AC BA .
注:正确运用向量的运算法则和运算律进行化简,尤其要注意差向量起点和终点的选择. 例3 已知AB AD 32=,AC AE 3
2=,则DE 等于( ) A. CB 3
1 B. CB 31- C. CB 3
2 D. CB 32- 注:逆用向量的运算法则,体现逆向思维.
例4 设a AB =,b BC =,c CA =,判断下列命题的真假:(1)若0=++c b a ,则 三个向量可构成ABC ∆;(2)若三个向量可构成ABC ∆,则0=++c b a ;并由此回答下列 问题:若命题甲为0=++c b a ,命题乙为三个向量可构成ABC ∆,则命题甲是命题乙的什 么条件?
注:注意向量运算的几何意义,体现数形结合思想.
例5如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD 且CD AB 2=,M ,N 分别是CD 和AB 的中 点,设a AB =,b AD =,试用a ,b 表示BC 和MN . 解:AB AD AB DC AD BA BC 2
1++-=++= a b AB AD 2
121-=-=; a b AB AD DC AD BA DN AD MA MN 41412121-=-=++=++=. 注:关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径,然后再借助于向量的运算逐步转 化成用基底表示.
三、课堂练习
1.已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为( ) A.
4233a b + B. 2433a b + C. 2233a b - D. 2233
a b -+ 2.已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D ,则AB BC CD DA +++= .
4. 化简:
(1)AB BC CD ++=_____________;
(2)AB AD DC --=______________;
(3)()()AB CD AC BD ---=______________.
5. 判断下列命题是否正确
(1)若a b =,则a b =.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.
(3)若AB DC =,则ABCD 是平行四边形.
(4)若ABCD 是平行四边形,则AB DC =.
(5)若,a b b c ==,则a c =.
(6)若//,//a b b c ,则//a c .
6. 若3||=a ,5||=b ,b 与a 的方向相反,则=a b .
四、课堂小结
五、课外作业
1.下面给出四个命题:①对于实数m 和向量,a b ,恒有()
m a b ma mb -=-
②对于实数m 、n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
③若(,0),ma mb m R m a b =∈≠=则
④若(0)ma na a =≠,则m=n 其中正确的命题个数是
( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.在平行四边形ABCD 中,若AB AD AB AD +=-,则必有 ( )
A. 0AD =
B. 00AB AD ==或
C.ABCD 是矩形
D.ABCD 是正方形
3.下列命题中,正确的是( )
A.若a b =,则a b =
B. 若a b =,则//a b
C. 若a b >,则a b >
D. 若1a =,则1a =
4. 下列说法中错误的是( )
A. 向量AB 的长度与向量BA 的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
5.,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 的中点,且,,BC a CA b ==给出下列命题 ①12AD a b =-- ②12BE a b =+ ③ 1122
CF a b =-+ ④0AD BE CF ++=
其中正确的序号是_________。
6.若112()(3)032
x a b c x b --+-+=,则x =__________。
7. 两列火车,先各从一站台沿相反方向开出,走了相同的路程,这两列火车位移的和是______。
8. 如图,OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形,又11,33
BM BC CN CD ==,试用,a b 表示,,OM ON MN 。
9. 已知O 是ABC ∆内的一点,若0OA OB OC ++=,
求证:O 是ABC ∆的重心.
10. 在水流速度为43/km h 的河中,如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直,并使船速达到12/km h ,求
船的航行速度与方向。