惠州一中2017级高一年级下学期分班考试数学试卷（试卷满分：150分 ；考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1、已知集合{}220M x x x =->，{}2,1,0,1,2N =--，则等于M N =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2、已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列, 则2a ＝( ) A ．－4B ．－6C ．－8D ． －103、过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知点(1,3)A ，B(4,1)-，则与向量AB 共线且同向的单位向量为( ) A.34(,)55- B. 43(,)55- C. 34(,)55- D. 43(,)55- 5，则sin 2α的值为（ ）A B C D6、刍薨（chuhong ），中国古代算术中的一种几何体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”.如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）()2,3A 250x y +-=240x y -+=270x y +-=230x y -+=250x y -+=A.24B.D.7、设是两条不同的直线， α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①若,//,//m n n αββα=，则//m n ； ②若,,n αβα⊥⊥则//n β；③若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥； ④若,m n αα⊥⊥；则//m n . A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②8、记不等式组1033010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意点00,)x y D ∈（，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞-B.(],1-∞-C. [)4,-+∞D.[)1,-+∞9、已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围 为（ ） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ． 4πB ． 16πC ．3π D ．3π 11、已知函数满足：(1)201820182xxf x x -+=+-+，若不等式2(sin )(sin )40f f t θθ++->对任意的R θ∈恒成立,则实数t 的取值范围是( )A.9(,)4+∞B. (2,)+∞C. (,4)-∞-D. 9(,)4-∞- 12、如图，在AOB ∆中, 90AOB ∠=︒， 1,OA OB ==等边EFG ∆ 三个顶点分别在AOB ∆的三边上运动，则EFG ∆面积的最小值为（ ）A.4B. 9C. 25D. 28m n 、二、填空题：(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上) 13、已知直线l 过点(1,2)P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 14、已知,x y 为正实数,满足26x y xy ++=,则2xy 的最小值为 15、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2， 2AM MD =.若3AC BM ⋅=-，则AB AD ⋅=16、已知函数2,1()ln(1),12,x x f x x x ⎧≤=⎨-<≤⎩若不等式()3f x mx ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）已知函数()()π2sin 2()2f x x ϕϕ=+<部分图象如图所示． （1）求值及图中的值；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =()2f C =-，sin 2sin B A =，求的值．18、（本小题满分12分）数列为正项数列，，且对任意*n ∈N ，都有：；（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足2211log log n n n b a a +=⋅，记为数列的前项和，若对任意*n ∈N ，0n T t -<均成立，求实数t 的最小值.ϕ0x a {}n a 14a =22112n n n n a a a a ++-={}n a {}n b n T {}n b19、（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 在线段PA 上，PC P 平面BDE ． （1）求证：AE PE =；（2）若△PAD 是等边三角形，2AB AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积为， 求点E 到平面PCD 的距离．20、（本小题满分12分）已知(3,0)A ,B(0,3),(cos ,sin )C αα． (1)若1AC BC ⋅=-，求sin()4πα+的值；(2) 若||13OA OC +=(0,)απ∈，求OB 与OC 的夹角.21、（本小题满分12分）某森林失火了，火势正以平均每分钟200m 2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m 2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m 2的森林的损失费为60元，消防队共派x 名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n 分钟．（1）求出x 与n 的关系．（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？22、（本小题满分12分）已知函数2()1f x x x ax =+--()0a >，()ln g x x =-．（1）当2a =时，求()f x 在(0,1)上的值域； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =（0>x ），求)(x h 零点的个数。

31258004xx =⋅+-…………12分22、解：（Ⅰ）当2a =时，若112x ≤<，函数2213() 124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 若102x <<，函数22313() 3124f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的值域为31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()f x 在(0,1)上的值域为(1,1)- ……………2分（Ⅱ）2()1f x x x ax =+--221(1)1,,1(1)1,.x a x x a x a x x a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩① 当1x a ≥时，函数2()(1)1f x x a x =+-+的对称轴为12a x -=，若112a a -≤，即02a <≤，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若112a a ->，即2a >，函数()f x 在1,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． ② 当1x a <时，函数2()(1)1f x x a x =++-的对称轴为112a x a+=-<，则函数()f x 在11,2a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当02a <≤时，函数()f x 单调递增区间为1,2a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；当2a >时，函数()f x 单调递增区间为11,2a a +⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, 单调递减区间为1,2a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭． ……………6分（III ）（i ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，所以()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<即()h x 在(1,)+∞上不存在零点； ……………7分 （ii ）当1x =时，(1)21f a =--，(1)0g =若(1)210f a =--≥即03a <≤时(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，1是()h x 的零点若(1)210f a =--<即3a >时(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，1不是()h x 的零点 … ………8分（iii ）当(0,1)x ∈时，因为()ln 0g x x =->，所以()h x 在(0,1)内的零点个数取决于()f x 在(0,1)内的零点个数.⑴当02a <≤时，由(Ⅱ)知函数()f x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210f f a =-<=-->，故函数()f x 在区间()0,1上只有一个零点．………9分⑵当2a >时，则1112a <<，而()010,f =-<21110f a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121f a =--，①若23a <≤，由于1112a a -<≤，且()211111222a a a f a ---⎛⎫⎛⎫=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104a -=-+≥，此时，函数()f x 在区间()0,1上只有一个零点； …………10分 ②若3a >，由于112a ->且()121f a =--0<，此时，函数()f x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …………11分 综上所述，当0a >时，函数)(x h 有两个不同的零点. …………12分。