解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法——形成思维定式，快速解题
◆类型一含一个拐点的平行线问题
1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( )
A．30° B．32° C．42° D．58°
第1题图第2题图
2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°
3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？【方法4】
◆类型二含多个拐点的平行线问题
4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为【方法4】( )
A．20° B．30° C．40° D．70°
第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．
解：
7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．【方法4】
(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.B
3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.
(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H ＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
4．B 解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM －∠DCM＝70°－40°＝30°.
5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.
6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．
7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，
过P 向右作PN ∥CD .∵AB ∥CD ，∴OQ ∥PN ∥AB ∥CD ，∴∠1＝∠BEO ，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC ，∴∠1＋∠2＋∠PFC ＝∠BEO ＋∠3＋∠4，∴∠EOP ＋∠PFC ＝∠BEO ＋∠OPF .
1、最困难的事就是认识自己。
20.8.108.10.202011:0911:09:37Aug-2011:09
2、自知之明是最难得的知识。
二〇二〇年八月十日2020年8月10日星期一
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
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4、与肝胆人共事，无字句处读书。
8.10.20208.10.202011:0911:0911:09:3711:09:37
5、三军可夺帅也。
Monday, August 10, 2020August 20Monday, August 10, 20208/10/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
11时9分11时9分10-Aug-208.10.2020
7、人生就是学校。
20.8.1020.8.1020.8.10。
2020年8月10日星期一二〇二〇年八月十日 8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。
11:0911:09:388.10.2020Monday, August 10, 2020 亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
1、在最软入的时候，你会想起谁。
20.8.108.10.202011:0911:09:38Aug-2011:09 2、人心是不待风吹儿自落得花。
二〇二〇年八月十日2020年8月10日星期一
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
11:098.10.202011:098.10.202011:0911:09:388.10.202011:098.10.2020
4、与肝胆人共事，无字句处读书。
8.10.20208.10.202011:0911:0911:09:3811:09:38
5、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。
Monday, August 10, 2020August 20Monday, August 10, 20208/10/2020
6、生的光荣，活着重要。
11时9分11时9分10-Aug-208.10.2020
7、永远叫不醒一个装睡的人。
20.8.1020.8.1020.8.10。
2020年8月10日星期一二〇二〇年八月十日
8、人生能有几回搏。
11:0911:09:388.10.2020Monday, August 10, 2020 亲爱的用户： 相识是花结成蕾。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。