f (i, j )
f (i 1, j) f (i, j)
2
f (i, j 1) f (i, j )
2


平方、开方，不便计算，可近似为绝对值形式：
f (i, j ) f (i 1, j ) f (i, j ) f (i, j 1) f (i, j )
2
离散图像f(i,j)
二阶微分：
2f f i ' ' f (i 1, j ) f (i 1, j ) 2 f (i, j ) 2 x 2f f j ' ' f (i, j 1) f (i, j 1) 2 f (i, j ) 2 y
锐化公式：
g(i, j ) f (i, j ) f f (i, j ) [ f (i 1, j ) f (i 1, j ) f (i, j 1) f (i, j 1) 4 f (i, j )] (1 4 ) f (i, j ) [ f (i 1, j ) f (i 1, j ) f (i, j 1) f (i, j 1)]
基于一阶导数的图像锐化

对于连续二维函数f（x,y）,其在点（x,y）处的梯度为
f Gx x f Gy f y
其值为
f ( x, y) ( f 2 f 2 ) ( ) x y

对于离散的二维离散函数f(i,j)，可以用有限差分作 为梯度幅值的一个近似
其中h(x,y)为卷积核，一般取k＝i，且k,i为奇数。图象的卷积运算可以 用模板操作完成。设模板元素的大小与图象的像素相同，将模块中心元素对 准图象的当前像素，将模块各元素值与图象对应像素值相乘再求和，就是模 块操作。对应于上述卷积k＝i＝3的模板如下图所示：
h1,1 h1,0 h0,1 h0,0 h1,1 h1,0
分类（对像素计算方式）
（1）线性滤波： 利用脉冲函数或点操作函数完成对图象的处
理。模板处理是典型的线性滤波，实现的运算可以用卷积描述：
g ( x, y )
x k / 2
i x k / 2 j y l / 2

y l / 2
f (i, j )h( x i, y j )
w1对水平边缘有较大响应的竖直梯度 w2对竖直边缘有较大响应的水平梯度
基于二阶微分的图像增强
——拉普拉斯算子

连续图像f(x,y) Laplacian算子
2 2 2 2 x y 2
2 2 f f 2 f 2 2 x y

锐化公式：
g( x, y) f ( x, y) [ f ( x, y)]

实际使用中，更常用的是Robert交叉梯度
f (i, j ) f (i 1, j 1) f (i, j ) f (i, j 1) f (i 1, j )
Robert交叉梯度

对应模板如下：
1 0 w1 0 1
w1对接近45°边缘有较强响应； w2对接近-45°边缘有较强响应。
h1,1 h0,1邻域进行特定的操作，完成滤
波。如中值滤波和利用梯度算子进行的锐化处理。
非线性锐化滤波：利用微分对图象进行锐化滤波处理。
常用空域微分（梯度）算子进行处理，一般要用两个模板对图 象进行两次处理（一次对x求梯度，另一次对y求梯度），然后利用 不同的梯度距离作为确定图象输出值的依据。鉴于两次梯度组合以 及距离运算都是非线性的，称这类锐化处理为非线性锐化滤波。

4、锐化在增强边缘和细节的同时，往往也增强 了噪声，为了在取得更好的锐化效果的同时把 噪声的干扰降到最低，可以先对带有噪声的原 始图像进行平滑滤波，再进行锐化增强边缘和 细节。
边界处理
（1）收缩处理范围（对边界不进行处理）
确保了滤波过程中模板始终不会超出图像边界
（2）使用常数填充图像
根据模板形状为图像虚拟出边界，虚拟边界像素值 为指定的常数，如0，保证模板在移动过程中始终不会超 出边界。
- 1 - 1 - 1
处理方法：用模板对原图像从第2行第2列开始逐渐移法计算。 锐化实质：锐化图像g(m,n)=原图像f(m,n)+加重的边缘（ *微分 ）
对比小结



1、由上面得到的图像我们可以看出：拉普拉斯锐化同 Robert/Sobel锐化不同的是输出图像中的双边缘；此 外，拉普拉斯锐化对一些离散点也有较强的响应，噪 声也是离散点，所以，这一点并不是我们想要的。 2、对于图像增强而言，二阶导数的算子应用更多一些， 增强效果更明显；在边缘检测的时候，一阶导数的算 子应用得更多一些。 3、无论是Robert、Sobert模板还是拉普拉斯模板，各 系数和都为0。这说明算子在灰度恒定区域的响应为0， 即原图像的平滑区域近乎于黑色。
图像空域滤波
之模板锐化处理
研1506 田文龙 学号：2013020170
一、空域滤波
空域滤波技术根据功能需要主要分为平 滑滤波和锐化滤波；根据数学计算方法的不同， 分为线性滤波和非线性滤波。平滑滤波能减弱 或消除图像中的高频率分量而不影响低频分量， 抑制图像中灰度跳变的部分，而锐化滤波与此 正好相反，是用来增强图像的灰度跳变部分， 实际常用于增强被模糊的细节或目标的边缘。
模板锐化法
Laplacian锐化模板： （1）4-邻模板W1 （2）8-邻模板W4 锐化模板特点
（1）模板内系数有正有负，表示差分运算； （2）模板内系数之和为0
0 1 0 W1 1 4 1 0 1 0
- 1 - 1 W4 - 1 8 - 1 - 1
0 - 1 w2 1 0
Sobel梯度


由于人们总喜欢基数尺寸模板，因而一种计算Sobel 梯度的Sobel模板更常用。 对应模板如下：
- 1 - 2 - 1 W1 0 0 0 1 2 1
-1 0 1 W2 2 0 2 -1 0 1
（3）使用复制像素的方法填充图像
和（2）基本相同，只是用来填充虚拟边界像素 值的不是固定数字，而是复制图像f本身边界的模式。