复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()Cx iy dz +=⎰[ ]（A ）1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）1566i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg Czdz =⎰[ ]（A ）4π（B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i +3．设C 是从0到12i π+的直线段，则zC ze dz =⎰ [ ]（A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12ei π-4．设()f z 在复平面处处解析且()2iif z dz i πππ-=⎰，则积分()iif z dz ππ--=⎰[ ]（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则2Czdz =⎰2 。
2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则2232(4)Cz z dz z -+=-⎰10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。
（1）323262121()02iziiz i i i edzee e ππππππ---==-=⎰（2）22222sin1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分||C zdz z ⎰的值，其中C 为正向圆周：（1）2200||22,022224.2i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=（2）2200||44,024448.4i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=3．分别沿y x =与2y x =算出积分10()ii z dz +-⎰的值。
解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为(1),01z i t t =+≤≤则原积分11120[(1)](1)(12)[(1)]2I i i t i dti t dt i t t i =--+=--=--=-⎰⎰（2）沿2y x =的积分曲线方程为2,01z t it t =+≤≤则原积分120113224300[()](12)3112[32(1)][()]2.2233I i t it it dtt t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+⎰⎰4．计算下列积分(1)2()Cx y ix dz -+⎰,C:从0到1i +的直线段；C 的方程：(1),01z i t t =+≤≤(),01()x t tt y t t=⎧≤≤⎨=⎩或则原积分120120[](1)1(1).3I t t it i dti i t dt =-++-=-=⎰⎰(2)2()Cz zz dz +⎰，C ：||1z =上沿正向从1到1-。
C 的方程：,0i z e θθπ=≤≤则原积分20330(1)8().33i i i i i i I e ie d e i ee d e πθθπθπθθθθθ=+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广－复合闭路定理一、选择题1． 设()f z 在单连通区域B 内解析，C 为B 内任一闭路，则必有 [ ] （A ）Im[()]0Cf z dz =⎰ （B ）Re[()]0Cf z dz =⎰（C ）|()|0Cf z dz =⎰（D ）Re ()0Cf z dz =⎰2．设C 为正向圆周1||2z =，则321cos2(1)C z z dz z -=-⎰ [ ] （A ）2(3cos1sin1)i π- （B ）0 （C ）6cos1i π （D ）2sin1i π- 3．设()f z 在单连通域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分()2()()()Cf z f z f z dz f z '''++=⎰[ ]（A ）2i π （B ） 2i π- （C ） 0 （D ）不能确定 二、填空题1．设C 为正向圆周||3z =，则||Cz zdz z +=⎰6.i π 2．闭曲线:||1C z =取正方向，则积分122(2)(3)z C edz z z -=+-⎰ 0 。
三、解答题利用柯西积分公式求复积分 （1）判断被积函数具有几个奇点； （2）找出奇点中含在积分曲线内部的，若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零； 若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式. 1．计算下列积分 （1）221,:||(0);C dz C z a a a z a -=>-⎰.()22111121111=20.22C C C C dz dz z a a z a z a i dz dz i a z a z a a a ππ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎛⎫=--= ⎪-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰解：22221112.C z aC z a z a idz i z a z aaππ==-=⋅=-+⎰解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得 （2）．2,:||2;1C zdz C z z =-⎰21111=+=22)2.121+12C C z dz dz i i i z z z πππ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰解：（ 解法二：211zC z z =±-被积函数在内部具有两个奇点， 分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C 1、 C 2， 且C 1和 C 2含于C 内部。
由复合闭路定理，122221111122112C C C z z zz z dz dz dz z z z z zi iz z i i iπππππ==-=+---=++-=+=⎰⎰⎰ （3）2||5||53123212226.31z z z dzz z dz i i i z z πππ==---⎛⎫=+=⨯+= ⎪-+⎝⎭⎰⎰同上题中的解法二，122||51331313123(3)(1)(3)(1)31312224631z C C z z z z z dz dz dzz z z z z z z z ii i i iz z πππππ==-=---=+---+-+--=+=+=-+⎰⎰⎰（4）2cos 4-⎰C z dz z ，其中22:4C x y x +=正向 2cos cos /(2)cos22cos2/(22).422C C z z z i dz dz i z z ππ+==+=--⎰⎰2．计算积分2(1)Cdzz z +⎰，其中C 为下列曲线：2121111111(1)222C C C C C dzI dz dz dz dz z z z z i z i z z i z i ⎛⎫==--=--⎪++-+-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（1）1:||2C z =; 2002.I i i ππ=--=解法二：21221z I i i z ππ===+（2）3:||2C z i -=; 1202.2I i i i πππ=--⋅=解法二：20112221()z z iI i i i i i z z z i πππππ===+=-=++（3）1:||2C z i +=; 1020.2I i i ππ=-⋅-=-解法二：12()z iI i i z z i ππ=-==--（4）3:||2C z =。
112220.22I i i i πππ=-⋅-⋅=解法二：20111222201()()z z i z iI ii i i i i z z z i z z i ππππππ==-==++=--=+-+ 3．计算Ln Czdz ⎰，其中（1）Ln ln ||arg ,:||1z z i z C z =+=;C 的方程：,i z e θπθπ=-≤≤Ln (1)2.i i Czdz i ie d i e i ππθθππθθθπ--=⋅=-=-⎰⎰（2）Ln ln ||arg 2,:||z z i z i C z R π=++=.C 的方程：,i z Re θπθπ=-≤≤Ln (ln arg 2)arg 2.i CCCzdz R i z i dz i zdz i Rie d R i πθππθθπ-=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数一．选择题。
1．设C 是正向圆周2220x y x +-=，则2sin()41C z dz z π=-⎰ [ ] （Ai （B i（C ）0 （D ）i 2．设C 为正向圆周||2z =，则2cos (1)C zdz z =-⎰ [ ]（A ）sin1- （B ）sin1 （C ）2sin1i π- （D ）2sin1i π3．设||4()ξξξξe f z d z==-⎰，其中||4z ≠，则()f i π'= [ ] （A ）2i π- （B ）1- （C ）2i π （D ）1 4．设C 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则2(1)(1)C zdz z z -+⎰为 [ ]（A ）2i π（B ）2i π-（C ）0 （D ）以上都有可能二．填空题：1．闭曲线:||3C z =取正方向，积分3(2).(1)zCe dz e i z z π=--⎰32011111()''()'22(1)(1)12!1!z z z z zz C z e e e dz i e ie z z z z ππ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 2．设||2sin()2()f z d zξπξξξ==-⎰，其中||2z ≠，则(1)f '= 0 ，(3)f '= 0 。
()2()=0'(3)0z z f z f >=对满足的所有的，，从而三．解答题：1．设()f z u iv =+是解析函数且222u v x y xy -=--，求()f z 。