最新高等数学下册典型例题精选集合第八章 多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。
A - 77Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4xz 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即V4x >y>0 x 2 > y>0例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以z = (x- y)2 +2y.2 2例3求lim——>4o J ，+)" +1 _ [lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2XT O V尸0例1求函数z解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2=的乘积。
兀-">0,即兀2 >y >0o y>0lim(* +)(J 兀2 + y2 + ] 4- 1)解:XT O 原式=厂0(J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)法2化为一元函数的极限计算。
令衣+八］=(,则当x —0, y —»0 吋，t ―> 1 o『2 _1原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。
t —I / — ]i ―I例 4 求 lim r 兀+厂，T()丿解:法1用夹逼准则。
因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以290<而lim凶=0,从而lim| |=0XT O 2 XT O厂 + \厂〉・T O 〉・T O兀十〉于是lim「1=0牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。
因为2|xy|< x2 + y2所以—^―Q +y=lim(AT O〉・T O尢y •x) = 0例5研究lim^-:护+y解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零F *+y kyTO 丿的常数，表明原极限不存在。
a,又limx = 0XT O〉T()所以例6求函数/(x, y)=— --------- ； -- 的连续范围。
x y - xy + xy解：此函数为二元初等函数，因此它的连续范围就是它的定义域。
即除去xyC?_y + l) = 0的点集。
即xOy 平面上除去X 轴、y 轴及抛物线》，= /+1的所有点外，函数都是连续的。
例 7 已知/(x,y) = (l + xy)\ 求(1,1)与人(1,1)。
解:求f x (x, y)时，视y 为常数，按一元函数幕函数的求导法则，得f x (兀,y) = y(l + xy)y ~2 (1 + xyY x = y(l + xy)y ~l • y = y? (1 +求人(九刃时，因/(x, y)是关于y 的幕指函数，视x 为常数，按一元函 数中幕指函数求导法则，两边取对数，得In /(x, y) = ^ln(l + xy)对y 求导得2 = F .兀2 * 任2)2 * c (Q ,解得 c (Q = 1 — 2*,故 z = x 2y+ y 2+1 — 2兀4.例]0设z = w(x, y)可微,且当y = x 2时,u(x, y) = 1及磐=兀，(兀工0)0X求当y = x 2时的学,(兀工0)oy解：因为当y = x 2时，/心*) = 1,所以単+単(宀 =0,故ox dy1 y)•/v(x, y) = ln(l + xy) + y-M)")=G刃［吨 f)+島 I+切®(i+小)+从而f x (1,1) = 1，f y (1,1)二2(ln 2 +》=In 4 +1例8证明函数/(兀,y)=丿血在点(0,0)处两个偏导数人(0,0)和f y(0,0)存在，但在该点不可微。
证明：因为f x (0,0) = lim /(心°)-灿°)= lim 0 = 0A XT O Ar &T0人(0,0)—/(°4)7(°'°)=恤0 = 0△VT O△), Ay->0故人(0,0)和人(0,0)均存在。
\f -[f x (0,0)必+ f y (O,O)dy ] = J| Ar ||Ay| ,当点(0 + Ar,0 + Ay)沿着直线y = x趋向原点(0,0)时，则心=4歹，于是纣-也(0,0)么+人(0,0)如—Ji心| _ 1 3 1p J(心『+(心)2 2当° T 0时，其极限不为零，即纣一 [f x (0,0)必+ f y (0,0)心]不是比。
高阶的无穷小，所以/(x,y) =在点(0,0)不可微。
例9 设z = z(x, y)满足[z v一“,求z。
[z(x,x2) = \解:z = Jz；dy = J(兀2 + y)dy = x2y-^- y2 +C(x),其中C(x)为任意可微函数。
du _ I du _ 1dy〉* 2xdx ~ 2例H 设u = u(x, y) nJ微，且弘(匕兀2) = x2 -x4,u x(x,x2) = x-x2,求u (x, x ),(兀工0) o解：w(x,x2) = x2一/得u x(x,x2) + u y(x,x2)-2x = 2x-4x3,故u v（兀，兀2）=2f .（% 工0）2x例12证明函数z = xV(^T) (n为常数，/©)可微)满足JCdz dz _X — - F 2 V —- = HZ odx“ dy证明：令u=^兀-因为字=nx n'{f(u)-2x n~3yfXu),琴=x n~2f(u) dx dy代入左端得x— + 2y 亍=nx n f(u)二nz。
ox dy例］3设方程F（-A = 0确定了函数z = z（x,y）,求尖与尖。
z z o x Sy解：设U =—,v = —z z法1公式法：(用复合函数的求导法则，x,y,z处于等同地位)3F dF du dF dv 1 dF dF dF du dF dv 1 dF— ------- ---- ---- --------- 1 ・■"I* ■_ ，dx du dx3v dx z du dy du dy3v dy z dvdF dF du dF dv - x dF y dFdz du dz dv dz z2 du z2 dv又zCr,/) = i,代入上式得法2用隐函数求导法，方程F （兰，丄）=0两端对x 求导，此时要注意刁是Z Zx,y 的函数。
arz —du "ar dF法3利用一阶全微分形式的不变性：将方程F （-,^） = 0两边求全微分得Z Z— du + — dv = Q,即 du dvf dz) z — x —— ox z 2dF + — < dz}~y dx z 2\ 丿< 丿0,dF du3F dFBz _ dx _ du 荻—一亦— 3F dF dz _ dy矿—迹dzdF dvdF dFdFduJ化简后可解得尖二 OXdF dx_dF dzE)F¥aFar - az-aydF dF dF=0,即 dvdF ( zdx - xdz \ du dF ( zdy - yzz2丿22丿=0（Z2 ^0）,化简得3F 3F z ——z —-dz=必 + dF dF dy f兀需 + F 兀需*乔 从而可得同样的结果。
例14设)匸,而/是由方程F(x.= 0所确定的的函数, 试证:dy = f x F t -f l F x dx~ /£+斥证明：由y 二fMx.y)］得字二f x + /厶二人+ /」字+肇字］,dx ox dy dx又由F(x, y,t) = 0得舉=-竺g =-負,代入解出空即得结果。
dx F t oy F { d x 或利用一阶微分形式的不变性：dy = f x dx + f x dx — dy + 力力=0(1) x 耳-(2) x f (消去含dt 的项即可得结果。
例15设2= f(x,-\ f 具有二阶连续偏导数，求半y oxX X解：设 u=—,则 z = f （x,u ）,u =—yydz _df df du _df 1 df— + — +dx dx du dx dx y du几 二 d （0z ）二 — 1 必）=2（必）+ 2（丄％） dx 2 dx dx dx dx y du dxdx dx y du（1）F x dx 十 F y dy + F t dt = 0 （2）2（妙）=写+空屯=写+丄吃dx dx dx 4 5 dxdu dx dx 2 y dxdu2（丄必）=丄2（必）=_L （2i£+空也）=丄（i!£+丄孚）dx y du y dx du y dxdu du 2 dx y dxdu y du 2代入可得d 2z = d 2f [ 2 d 2f 1 行dx 2 dx 2 y dxdu y 2 du 2例16求曲线y 2 - 2mx,z 2 =m-x 在点M （）（%（）,y （）,z （））处的切线及法线 方程。
解：设x 为参数，则曲线方程可表示为参数方式x = X < y 2 = 2nvc z~ = m - x在点M 0（x 0,y 0,z 0）处的切向量为：切线方程为：兀—兀。
=— y°） = —2z°（z-z°） m4法平面方程为：x — x （） H （y —）b ） -- （z — z 0） = 0 o>0 2z°例17求证锥面z = V （-）上任一点戶（心,儿,z （））（Xo H 0）处的切平面都通 过原点。
例18设f 的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明曲面 f{ax-bz,ay-cz ） = 0上的切平面都与某一定直线平行（a,b,c 不同时 为0）.12z°}，证明：定直线为兰=2二兰。
b c a例19证明曲面z = x+/(y-x)±任一点的切平面平行于一-条定直线。
解：此定直线的方向向量求在点处s = {1JJ}例 20 求函数 f(x,y) = x 2 + 2xy-4x + 8y (0 < x < 1,0 < y < 2)的最大值与最小值。
解:由外，故在区域D 内无极值，所以此函数的最大值与最小值仅在边界上达到。
当),=0时，/v (x,0) = 2x-4<0 (因为05x51),则/(匕0)为单调 减函数，故/(0,0) = 0可能为最大值，/(1.0) = -3为可能最小值。