学会“数形结合”，善于“数形结合”
（课堂教学教案设计）
问题背景：恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。

”自1637年，法国的笛卡尔提出了解析几何，把变量引进数学以来，“数形结合”，成为数学发展的动力，《解析几何》成为数学发展的新的转折点。

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

数形结合不仅是数学解题中常用的思想方法，而且有助于把握数学问题的本质。

由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

教师在课堂教学中要有意识培养学生数形结合的思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓学生的思维视野。

课题：学会“数形结合”，善于“数形结合”
课堂教学进程
一、问题引入：以形助数，以数辅形
例1、 直线2=y 和函数]2,0[,cos 2π∈=x x y 的图象围成的一个封闭图形
的面积是（ ）。

解：如图：
例2、已知向量)15sin ,15(cos ),75sin ,75(cos 0000== 那么||b a -的值是
（ ）。

代数解法： ||- 2 =（a b -）2
=2a 2·2b b a +-=1(2-cos750cos150+sin750sin150)+1
=1111=+-
∴ ||b a -=1
几何解法：如图：将a 、b 的始点都平移到原点，即a =OA 、b =OB 则||b a -=BA 且∠XOB=150 ∠XOA=750 ∴∠BOA=600 又OA =1 ∴AB =1
二、注意联系，实现转化
例3、若5x+12y=60，求22y x +的最小值。

学生图解（略）
三、加强变式，一题多变，从不同侧面看同一问题,培养学生的发散性思维
和创造性思维。

例题4： 已知：A （2，-3），B （-3，-2），直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，求直线l 的斜率范围。

变式：已知：A （2，-3），B （-3，-2），直线l 过点P （1，1），A 、B 两点在直线异侧，求直线l 的斜率范围
解法1：在坐标系内画图，可确定斜率范围是K ≥3/4,或k ≤4;
解法2：设L 方程：y-1=k(x-1),因为A ，B 在直线两侧，故使A δ
B δ•0≤号
即（k+4）(-4k+3)≤ 0. 解法3：将AB 方程列出，与L 方程联立，解出X ，-3≤X ≤2，解出K 的范围。

结果与1同。

四、 加强体验，巩固练习：
例5、已知集合A=}1|||||),{(=+y x y x ,B=|}|||1|||),{(y x xy y x +=+，
求B A ⋂的元素个数。

解：学生画图解答。

五、作业：
1、求实数m 的取值范围，使得关于x 的方程sinx+cosx=m 在区间],0[π上
（1） 恰有一个实数解。

（2） 有两个不同的实数解。

2、设R 为平面上以A （4，1）、B （-1，-6）、C （-3，2）三点为顶点的三 角形区域（三角形内部及边界），试求当点（X ，Y ）在区域R 上变动
时， 函数Y=X 34—3
t 的最值。

3、直线l 过点p(0,1),Q(-1,m 2),当实数m 变化时，直线l 的倾斜角的范围是（ ）。

六、总结反思
华罗庚对“数形结合”的精辟论述：
数与形，本是相倚依，
焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，
形少数时难入微。

数形结合百般好，
隔裂分家万事非。

切莫忘，
几何代数统一体，
永远联系，切莫分离。