北 京 交 通 大 学2013~2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分8分）某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为4.0、35.0和25.0，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为5.0、65.0和45.0．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率． 解：设=B “钥匙被找到”．=1A “钥匙掉在宿舍里”，=2A “钥匙掉在教室里”，=3A “钥匙掉在路上”． 由Bayes 公式，得 ()()()()()∑==31333i iiA B P A P A B P A P B A P2083.045.025.065.035.05.04.045.025.0=⨯+⨯+⨯⨯=．二．（本题满分8分）抛掷3枚均匀的硬币，设事件{}至多出现一次正面=A ，{}正面与反面都出现=B判断随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？解：⑴ 如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为823=．()2184==A P ，()4386==B P ，()83=AB P ， 所以有 ()()()B P A P AB P =⨯==432183，因此此时随机事件A 与B 是相互独立的．⑵ 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为1624=．()165=A P ，()871614==B P ，()41164==AB P ， 所以有 ()()()B P A P AB P =⨯≠=8716541，因此此时随机事件A 与B 不是相互独立的．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它010143x x x f ．求：⑴ ()X E （4分）；⑵ (){}X E X P >（4分）． 解： ⑴ ()()()⎰⎰-⋅==+∞∞-1314dx x x dx x xf X E()2.051514312143341432==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰dx x x xx ．⑵ (){}{}()⎰-=>=>12.03142.0dx x X P X E X P()4096.062525641234331412.043212.032==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰x x x x dx x xx ．四．（本题满分8分）某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X （单位：千升）是一随机变量，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=其它0100010012014x x x f试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在%2以下？ 解：设该加油站每次的储油量为a ．则由题意，a 应满足1000<<a ，而且()02.0≤>a X P ．而 ()()()()5100410010010011001201⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+==>⎰⎰⎰⎰+∞+∞a dx x dx x f dx x f dx x f a X P aaa．所以，应当有， 02.010015≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ．所以，得 502.01001≤-a ，即 10002.015a≤-， 因此有 ()26949481.5402.011005=-⨯≥a ．因此可取55=a （千升），即可使一周内断油的概率控制在%5以下．五．（本题满分8分）设平面区域D 是由双曲线xy 1=，()0>x 以及直线x y =，2=x 所围，二维随机变量()Y X ,服从区域D 上的均匀分布．求：⑴ 二维随机变量()Y X ,的联合密度函数()y x f ,（4分）；⑵ 随机变量Y的边缘密度函数()y f Y （4分）． 解：⑴ 区域D 的面积为()2ln 6ln 2121221-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰xx dx x x A ，所以，二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=Dy x D y x y x f ,,2ln 61,．⑵ 当121<≤x 时， ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-==⎰⎰+∞∞-y dx dx y x f y f yY 122ln 612ln 61,21； 当21≤≤x 时，()()()y dx dx y x f y f yY --=-==⎰⎰+∞∞-22ln 612ln 61,2． 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=其它02122ln 61121122ln 61y y y y y f Y ． 六．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 满足：()2var =X ，()4var =Y ，()1,cov =Y X ，再设随机变量Y X U 32-=，Y X V 23-=，求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ．解：()()()()()32124924,cov 12var 9var 432var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X U ， ()()()()()22124429,cov 12var 4var 923var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X V ， ()()Y X Y X V U 23,32cov ,cov --=()()()()231134626,cov 9,cov 4var 6var 6=⨯-⨯+⨯=--+=Y X Y X X X ． 所以，二维随机变量()V U ,的相关系数为 ()()()8668451157.011823223223var var ,cov ,====V U V U V U ρ．七．（本题满分8分） 设()21,X X 是取自正态总体()2,0σN 中的一个样本．试求随机变量22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=X X X X Y 的分布．（不必求出Y 的密度函数，只需指出Y 是哪一种分布，以及分布中的参数即可．） 解：由于()21,0~σN X ，()22,0~σN X ，而且1X 与2X 相互独立，所以 ()2212,0~σN X X +，()2212,0~σN X X -．由于 ()()()0v a r v a r ,c o v 212121=-=-+X X X X X X ，而且()2121,X X X X -+服从二元正态分布，所以21X X +与21X X -相互独立．所以，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛+X X ，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X ；而且2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+σX X 与2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-σX X 相互独立．所以，()1,1~2222122122121F X X X X X X X X Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=σσ． 八．（本题满分8分）某射手射击，他打中10环的概率为5.0，打中9环的概率为3.0，打中8环的概率为1.0，打中7环的概率为05.0，打中6环的概率为05.0．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．（附表：标准正态分布分布函数()x Φ的部分数值表：解：设k X 表示该射手射击的第k 发时所得的环数()100,,2,1 =k ，则k X的分布律为所以，()15.905.0605.071.083.095.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，()95.8405.0605.071.083.095.010222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，所以，()()()[]2275.115.995.84222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，10021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========10011001100110011001100110011001930900930900k k k k k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X X D X E P X P⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=∑=2275.110015.91009302275.110015.91002275.110015.91009001001k kX P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯-≤-=∑=35388.12275.110015.910035388.11001k k X P ()()()82289.0191149.02135.1235.135.1=-⨯=-Φ=-Φ-Φ≈． 九．（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立而且同分布，其中随机变量X 的分布列为{}{}010,01>-==>==p X P p X P ，再设随机变量⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01．⑴ 写出随机变量()Z X ,的联合分布律以及X 与Z 各自的边缘分布律；⑵ 问p 取什么值时，随机变量X 与Z 相互独立？解：⑴ X 与Z 的联合分布列以及X 与Z 各自的边际分布列为其中{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1101,00,0； {}{}{}{}()21000,01,0p Y P X P Y X P Z X P -=========；{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1010,10,1； {}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P Z X P =========；⑵ 如果X 与Z 相互独立，则有{}(){}{}()p p p Z P X P p p Z X P -⋅====-===120110,1， 解方程 ()()p p p p p -⋅=-121，得1=p ．并且当1=p 时，有可以验证，此时X 与Z 是相互独立的．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布．X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-055x x e x f x． 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数． 解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ， Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-055y y e y f yY 由题意，知 Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则 ()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dx x t f e dx x t f x f t f Y x Y X T作变换 x t u -=，则 dx du -=，当0=x 时，t u = ；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY u ttY u t T du u f e edu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ； 当0>t 时， ()t t u u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分） 设总体X 的密度函数为()θθθxe xf -=21;，()+∞<<∞-x ，其中0>θ是未知参数．()n X X ,,1 是从中抽取的一个样本．求θ的最大似然估计量．解：θ的似然函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∏==n i i nni i x x f L 111e x p 21;θθθθ， 则有()()∑=--=ni ix n L 112ln ln θθθ，对θ求导，得()∑=+-=ni ixn L d d 121ln θθθθ，令()0ln =θθL d d，即有0112=+-∑=ni i x n θθ，解似然方程，得∑==ni i x n 11θ．所以，θ的最大似然估计量为∑==n i i X n 11ˆθ． 十二．（本题满分9分） 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ，其中0>θ是未知参数，()n X X ，， 1是从该总体中抽取的一个样本．⑴. 求未知参数θ的矩估计量θˆ（5分）；⑵. 求方差()θˆvar （4分）．解：⑴. ()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ，所以，()X E 2=θ ，将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换，得未知参数θ的矩估计为X 2ˆ=θ⑵. ()()()()X nX X var 4var 42var ˆvar ===θ，而 ()()()[]22X E X E X D -=()()204622203322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x所以，()()nn X n 5204var 4ˆvar 22θθθ=⨯==。