习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}；(2) 记录某电话总机一分钟，(2) 记X为一分钟2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件；是不可能事件；取得球的号码是2，4}；取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}；取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}；取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式：；(2)B；(3)A；解或(3) 因为，所以；或或或用事件的运算关系式表示下列事件：(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）；(2) A,B都出现，C不出现（记为E2）；(3) 所有三个事件都出现（记为E3）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；(5) 三个事件都不出现（记为E5）；(6) 不多于一个事件出现（记为E6）；(7) 不多于两个事件出现（记为E7）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
解；AB；；；；；；5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有两次抽到废品。
解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；；6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。
解习题二解答1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数于是2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.ⅰ)有利于A的样本点数，故ⅱ) 有利于B的样本点数，故20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故ⅳ) 有利于D的样本点数，故3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格。
解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则注意到，且A与B互斥，因而由概率的可加性知5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。
解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数(ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为，所以7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”；(2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”；(3) 事件C：“其中有人精通英语”。
解样本点总数为；(1)；(3) 因，且A与B互斥，因而8．设一质点一定落在xOy平面记求概率的事件为A，则SA为图中阴影部分，而，最后由几何概型的概率计算公式可得图2.3 9．（见前面问答题2. 3）10．已知，，，求2(1)P(),P()；；(3)P(AB)；(4)P(),P()；(5)P(B).解，；；；4;11．设A,B是两个事件，已知，，，试求及解注意到，因而于是，；习题三解答1．已知随机事件A的概率，随机事件B的概率，条件概率，试求P(AB)及P().解2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解记基金}，股票}，则4．给定，P(B)，，验证下面四个等式：，P(AB)0.151解5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解迟到}，坐火车}，坐船}，坐汽车}，乘飞机}，则，且按题意，，，由全概率公式有：6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解(1) 记该球是红球}，取自甲袋}，取自乙袋}，已知，，所以7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解8．发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。
求(1) 收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率。
解记收到信号，发出信号1)P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件次品}，因此P(D)0.0345P(C)P(D|10．设A与B独立，且，求下列事件的概率：，，解11．已知A,B独立，且，求P(A),P(B).解因，由独立性有从而导致再由，有所以。
最后得到12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记命中目标}，甲命中}，乙命中}，丙命中}，则，因而13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这解记通达}，元件i通达}，则，所以14．假设一部机器在一天15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).解记在第i次试验中出现}，依假设8所以，，此即17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记第i道工序为次品}，则次品率18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。
解记译出密码}，第i人译出}，则19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？解；20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：610(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。
255解习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
i（1）；；（2）1（3）；4（4）。
25解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。
i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，；66。
这是因为c2. 试确定常数c，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；2。
4cc16解要使i成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；（2）（3）。
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数。
111解X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为326X -3 1 2概率1 31 21 6X的分布函数13564. 一袋中有51，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。
则另两个球的只能为1号，2号，即X的分布律为X的分布函数为1105. 5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。