浅谈导数及其应用
导数是高中数学新教材中新增的知识之一导数是高中数学课本中新增的内容,导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，在理论和实际生活中都有很重要的意义。
近年来加大了导数的考查力度，主要体现在以下几个方面。
本文通过列例方式归纳导数及其应用，来培养和提高学生的解题能力与创新能力。
一、导数的定义
熟知导数的定义，判断导数是否存在。
例1：函数f(x)=(|x|+1)(x+1)在点x=0处是否有导数？如果有导数，求出来，如果没有，说明理由。
解析：∵f（x）=(|x|+1)(x+1)={
△y=f(0+△x)-f(0)={
∴时，无极限，左右极限不相等
∴函数f(x)=(|x|+1)(x+1)在点x=0处没有导数
二、导数的几何意义
根据导数的概念可知，曲线在某点处切线的斜率就是函数在该点处的导数。
例题2：如果曲线y=x+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程。
解：设切点为（x，y）则切线在x的斜率为y|=3x+1
即3x+1=4 x=1
切点（1，-8）或（-1，-12）相应切线为y=4x-12或y=4x-8
三、求函数的单调性（或单调区间）
例题3：已知函数为自然对数的底数.
Ⅰ、讨论函数的单调性；
Ⅱ、求函数在区间[0，1]上的最大值.
解：⑴
（i）当a=0时，令
若上单调递增；
若上单调递减.
（ii）当a<0时，令
若上单调递减；
若上单调递增；
若上单调递减.
Ⅱ、（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是
（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.
（iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是
四、函数的极值和最值
求出导函数的根，检查在根左右值的符号找出极值。
求连续可导函数f(x)在［a,b］内的最值的方法，将各值与f(a),f(b)作比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
例题4：已知函数f(x)=x+ax+bx+cd 在x=与x=1时都取得极值。
1、求a,b的值及函数的单调区间；
2、若对x∈［-1,2］,不等式f(x)＜恒成立，求c的范围。
解：⑴
所以函数的递增区间为；
递减区间为.
⑵为极大值，
而，则为最大值
要使恒成立，只须
解得或
五、求函数的解析式
例题5：偶函数f(x)=的图像过点且在处的切线方程为，求的解析式.
解：因为f(x)是偶函数所以b=d=0,
把(0,1)代入方程所以e=1.
方程变为f(x)=ax4+cx2＋1求导f’(x)=4ax3+2cx
所以f’⑴=4a+2c=1,
x=1时y=x-2＝-1,把点(1,-1)(是切线与此偶函数的交点）,代入方程a+c+1=-1 连立4a+2c=1 a+c+1=-1
解得a=2.5，c=-4.5
所以
六、求函数的值域
例题6：求函数的值域。
分析:求函数值域是高中数学的难点,对一此复杂函数的值域,可用求导的方法来解答。
解：定义域为［-2，+∞］，y’=
由于y’＞0可得＞,x+3＞0,2x+4＞0
所以可得x＞-2,故可得知函数在［-2，+∞］上是增函数，而f(-1)=-1，所以函数值域为［-1，+∞］。
七、证明不等式
导数的应用渗透到数学的每个领域中，通过构造函数，利用单调性，某些不等式的证明会显得格外简单。
例题7：已知m,n为正整数，且1＜m＜n，求证:＞
证明:∵m,n为正整数，且1＜m＜n,
∴2≤m＜n，＞等价于＞
构造函数且x≥2
x≥2
知0＜＜1 ln(x+1) ≥ln3＞1
f’(x) ＜0f(x)为单调递减函数
又∵m＜n∴＞
即＞
八、探导方程的实数根
例题8：a为何值时，方程有三个不同的实根。
分析：考虑极值在x轴的上、下方可判断出根的个数。
设f(x)=
f’(x)=0时
若使方程有三个实根，则有＞0，＜0即a＞1。
九、解决实际生活中问题
培养学生数学建模能力和数学实践能力是高中数学教学的目的之一，注重培养学生综合运用数学知识、思维方法解决问题能力，加强应用意识和创新意识。
例题9：如图，某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，救生员现在岸边有A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边从A处跑到离B最近的D处，然后游向B处，已知AD=300m，BD=300m若救生员在岸边的行进速度为6m/s，在海水中的行进速度为2m/s。
1、分析救生员的择是否正确；
2、在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。
解析：将时间的数学模型建立，通过模型（函数）来解决问题。
1、救生员由A到B的时间为秒，由A到D再到D的时间是秒，t1＞t2∴救生员的选择是正确的。
2、设CD=xm ，则从A经C到B的时间是
t’
由于函数在此区间内只有一个极值点，依据实际意义，则函数在该点的极小值为最小值，令t’=0得x=则t=50+（秒），因此AD上的C点距D点时，救生员从A到B的时间最短，最短时间为t=50+。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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