8.2 空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题3.理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2013天津,17证明异面直线垂直求二面角的正弦值★★☆2012天津,17求异面直线所成角的正切值证面面垂直、求线面角的正弦值2008天津,5直线、平面位置关系的判定充分条件分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行答案 D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A.4B.5C.6D.7答案 C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④答案 C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD 所成角的余弦值为( )A.13B.√23C.√33D.23答案 C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.答案45°炼技法【方法集训】方法1 点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案 B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析 (1)∵AA AA =AAAA =2,∴EF∥AC,又EF ⊄平面ACD,AC ⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD, 又∵EF ⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH. 而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AA AA =AAAA =3. ∴AH∶HD=3∶1. (2)证明:∵EF∥GH, 且AA AA =13,AA AA =14,∴EF≠GH, ∴四边形EFGH 为梯形, ∴直线EH,FG 必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ⊂面ABD,∴P∈面ABD, 同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD. ∴EH、FG 、BD 三线共点.3.如图所示,已知l 1,l 2,l 3,l 4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l 1,l 2,l 3,l 4共面.证明 证法一:∵A、C 、E 不共线, ∴它们确定一个平面α, 又A∈l 1,C∈l 1,∴l 1⊂α,同理,l 2⊂α,又B∈l 1,D∈l 2,∴B∈α,D∈α, ∴l 3⊂α,同理,l 4⊂α, 故l 1,l 2,l 3,l 4四条直线共面. 证法二:∵点A 、C 、E 不共线, ∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2 异面直线所成角的求法4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4√3,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为( )A.√52B.23C.2√55D.√53答案 C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β答案 C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA 1=AB=2,E 为棱AA 1的中点. (1)证明B 1C 1⊥CE;(2)求二面角B 1-CE-C 1的正弦值;(3)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26,求线段AM 的长.解析 解法一:如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-1), 于是A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以B 1C 1⊥CE. (2)A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,-1).设平面B 1CE 的法向量m=(x,y,z), 则{A ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,即{A -2A -A =0,-A +A -A =0,消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1)知B 1C 1⊥CE,又CC 1⊥B 1C 1,可得B 1C 1⊥平面CEC 1, 故A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1)为平面CEC 1的一个法向量. 于是cos<m,A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A ·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A |·|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14×√2=-2√77, 从而sin<m,A 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√217. 所以二面角B 1-CE-C 1的正弦值为√217.(3)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1).设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ+1,λ).可取AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角, 则sinθ=|cos<AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√A 2+(λ+1)2+A 2×2=√2.于是√2=√26,解得λ=13,所以AM=√2.解法二:(1)证明:因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E=√5,B 1C 1=√2,EC 1=√3,从而B 1E 2=B 1A 12+E A 12,所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E,又CC 1,C 1E ⊂平面CC 1E,CC 1∩C 1E=C 1,所以B 1C 1⊥平面CC 1E,又CE ⊂平面CC 1E,故B 1C 1⊥CE. (2)过B 1作B 1G⊥CE 于点G,连接C 1G.由(1)知B 1C 1⊥CE,故CE⊥平面B 1C 1G,得CE⊥C 1G,所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE-C 1的平面角.在△CC 1E 中,由CE=C 1E=√3,CC 1=2,可得C 1G=2√63.在Rt△B 1C 1G 中,B 1G=√423,所以sin∠B 1GC 1=√217,即二面角B 1-CE-C 1的正弦值为√217. (3)连接D 1E,过点M 作MH⊥ED 1于点H,可得MH⊥平面ADD 1A 1,连接AH,AM,则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角.设AM=x,从而在Rt△AHM 中,有MH=√26x,AH=√346x.在Rt△C 1D 1E 中,C 1D 1=1,ED 1=√2,得EH=√2MH=13x.在△AEH 中,∠AEH=135°,AE=1,由AH 2=AE 2+EH 2-2AE·EHcos135°,得1718x 2=1+19x 2+√23x,整理得5x 2-2√2x-6=0,解得x=√2.所以线段AM 的长为√2.评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2. (1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值; (2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.解析 (1)在四棱锥P-ABCD 中,因为底面ABCD 是矩形,所以AD=BC 且AD∥BC,故∠PAD(或其补角)为异面直线PA 与BC 所成的角.又因为AD⊥PD,所以tan∠PAD=AAAA =2. 所以,异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面ABCD 是矩形,故AD⊥CD, 又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC, 而AD ⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC 内,过点P 作PE⊥CD 交直线CD 于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. 在△PDC 中,PD=CD=2,PC=2√3,故∠PCD=30°. 在Rt△PEC 中,PE=PCsin30°=√3.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC. 在Rt△PCB 中,PB=√AA 2+B A 2=√13. 在Rt△PEB 中,sin∠PBE=AA AA =√3913.所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为√3913.评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅱ文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD 所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案 C3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案 A4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案 D5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,故BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理,DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD 的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD 的体积V=√34,求A 到平面PBC 的距离.解析 (1)证明:设BD 与AC 的交点为O,连接EO. 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO∥PB.EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2)V=13·PA·S △ABD =16PA·AB·AD=√36AB. 由V=√34,可得AB=32.作AH⊥PB 交PB 于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH, 又BC∩BP=B,故AH⊥平面PBC. 又AH=AA ·AA AA =3√1313, 所以A 到平面PBC 的距离为3√1313.评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C 组 教师专用题组(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H. (1)求四面体ABCD 的体积; (2)证明:四边形EFGH 是矩形.解析 (1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD 的体积V=13×12×2×2×1=23. (2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m ⊂α,n ⊂β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α 答案 C2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a ⊄β,则“a⊥α”是“a 平行于β”的充分不必要条件,则正确命题是( )A.p∧qB.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q) 答案 B3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中真命题是( ) A.若m⊥β,m∥α,则α⊥βB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m ⊂β,α⊥β,则m⊥αD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ 答案 A4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为线段A 1B 上的动点,则下列结论正确的有( ) ①三棱锥M-DCC 1的体积为定值; ②DC 1⊥D 1M;③∠AMD 1的最大值为90°; ④AM+MD 1的最小值为2.A.①②B.①②③C.③④D.①②④ 答案 A二、填空题(每小题5分,共5分)5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 .①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 ②若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行 ③若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线④若m,n 不平行···,则m 与n 不可能···垂直于同一平面答案 ④三、解答题(共75分)6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD. (1)证明:DC 1⊥BC;(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小.解析 (1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC=DC 1.又AC=12AA 1,所以D A 12+DC 2=C A 12,所以DC 1⊥DC.而DC 1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC 1⊥平面BCD.又BC ⊂平面BCD,故DC 1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC 1,且BC⊥CC 1,且DC 1∩CC 1=C 1,则BC⊥平面ACC 1,所以CA,CB,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴的正方向,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴的正方向,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴的正方向,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,0,2), 则A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 设n=(x,y,z)是平面A 1B 1BD 的法向量, 则{A ·BD ⃗⃗⃗⃗ =0,A ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{A -A +A =0,A =0,令x=1,则y=1,因此可取n=(1,1,0).同理,设m=(a,b,c)是平面C 1BD 的法向量,则{A ·BD ⃗⃗⃗⃗ =0,A ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{A -A +A =0,-A +A =0,令a=1,则c=1,b=2,故可取m=(1,2,1).从而cos<n,m>=A ·A |A |·|A |=√32.又易知二面角A 1-BD-C 1为锐二面角, 故二面角A 1-BD-C 1的大小为30°.7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,PA=PB,PA⊥PB,F 为CP 上的点,且BF⊥平面PAC. (1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值;(3)在棱PD 上是否存在一点G,使GF∥平面PAB?若存在,求PG 的长;若不存在,说明理由.解析 (1)证明:∵BF⊥平面PAC,PA ⊂平面PAC, ∴BF⊥PA,又PA⊥PB,PB∩BF=B,∴PA⊥平面PBC, 又BC ⊂平面PBC,∴PA⊥BC, 又∵底面ABCD 是正方形, ∴AB⊥BC,又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵BC ⊂平面ABCD, ∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)作PE⊥AB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成角. ∵PA=PB,PA⊥PB,AB=2, ∴PE=1,PB=√2,∴在Rt△PBC 中,由勾股定理得PC=√6, ∴在Rt△PEC 中,sin∠PCE=AA AA =√66,∴直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为√66.(3)作FG∥CD,交PD于G,∵FG∥CD,AB∥CD,∴FG∥AB.又∵FG⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB,∵BF⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,∴BF⊥PC.∴在Rt△PBC中,易得BF=2√3.3在Rt△PBF中,由勾股定理可得PF=√6.3,又∵PC=PD,∴PG=√63即棱PD上存在一点G,使GF∥平面PAB,且PG=√6.3解题分析本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017天津南开二模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中点.(1)求证:AE⊥B1C;(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小;(3)若G为C1C的中点,求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)证明:∵BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,∴AE⊥BB1,由AB=AC,E为BC的中点得AE⊥BC,∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1C.(2)取B 1C 1的中点E 1,连接A 1E 1,E 1C, 则AE∥A 1E 1,∴∠E 1A 1C 或其补角是异面直线AE 与A 1C 所成的角. 设AC=AB=AA 1=2,则由∠BAC=90°,可得A 1E 1=AE=√2,A 1C=2√2,E 1C 1=EC=12BC=√2,∴E 1C=√A 1A 12+A 1A 2=√6,在△E 1A 1C 中,由余弦定理的推论得cos∠E 1A 1C=2×√2×2√2=12,∴异面直线AE 与A 1C 所成角的大小为π3.(3)设P 是AC 的中点,过点P 作PQ⊥AG 于Q,连接EP,EQ,则EP∥AB,EP⊥AC, 又∵平面ABC⊥平面ACC 1A 1,且平面ACC 1A 1∩平面ABC=AC,EP ⊂平面ABC, ∴EP⊥平面ACC 1A 1,而PQ⊥AG, ∴由三垂线定理得EQ⊥AG. ∴∠PQE 是二面角C-AG-E 的平面角,设EP=1,则AP=1,AA AA =AA AA ,PQ=5,tan∠PQE=AAAA =√5.所以二面角C-AG-E 的正切值是√5.解题分析 本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018天津实验中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=√2,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:EF∥A 1D 1;(2)证明:BA1⊥平面B1C1EF;(3)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值.解析 (1)证明:因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,A 1D 1⊂平面ADD 1A 1, 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF, 所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF.(2)证明:因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1, 所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,BB 1∩B 1A 1=B 1, 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1, 又BA 1⊂平面ABB 1A 1, 所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,所以tan∠A 1B 1F=tan∠AA 1B=√22,即∠A 1B 1F=∠AA 1B, 故BA 1⊥B 1F,又B 1F∩B 1C 1=B 1, 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(3)设BA 1与B 1F 的交点为H,连接C 1H.由(2)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角. 在矩形AA 1B 1B 中,AB=√2,AA 1=2,易得BH=√6.在Rt△BHC 1中,BC 1=2√5,BH=√6,所以sin∠BC 1H=AA AA 1=√3015.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是√3015.10.(2018天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF 为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P 为DF 的中点,AN⊥CF,垂足为N. (1)求证:AN⊥平面CDF;(2)求异面直线BF 与PC 所成角的正切值; (3)求三棱锥B-CEF 的体积.解析 (1)证明:∵四边形ABEF 为正方形,∴AB⊥AF, ∵四边形ABCD 为平行四边形,∠ACD=90°, ∴CD⊥AC,AB∥CD,∴CD⊥AF, ∵AF∩AC=A,∴CD⊥平面ACF, ∵AN ⊂平面AFC,∴CD⊥AN, ∵AN⊥CF,CF∩CD=C, ∴AN⊥平面CDF.(2)连接BD 交AC 于点O,连接AP 、PO.∵四边形ABCD 为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2, ∴AC=√AA 2-C A 2=√4-1=√3,∴AO=CO=√32, ∵平面ABEF⊥平面ABCD, ∴AF⊥平面ABCD,又AD ⊂平面ABCD,∴AF⊥AD,∵四边形ABEF 为正方形,AB=1,∴AF=AB=1, ∵P 为DF 的中点,∴AP=12FD. 由(1)知CD⊥平面ACF,∴CD⊥CF,又P 为DF 的中点,∴CP=12FD, ∴AP=CP=12FD=12√AA 2+A A 2=12√1+4=√52, ∵P 为DF 的中点,O 是BD 的中点,∴BF∥PO,∴∠CPO 或其补角是异面直线BF 与PC 所成的角,sin∠CPO=AA AA =√32√52=√155,∴cos∠CPO=√105,tan∠CPO=√62, ∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为√62.(3)由(1)知CD∥AB,且∠ACD=90°, ∴∠CAB=90°,即AB⊥AC, 由(2)知AF⊥平面ABCD,∴AF⊥AC, 又AF∩AB=A,∴AC⊥平面ABF, 又由(2)知CA=√3,∴三棱锥B-CEF 的体积V B-CEF =V C-BEF =13S △BEF ×CA=13×12×1×1×√3=√36.11.(2017天津耀华中学一模,17)如图1,在边长为3的正三角形ABC 中,E,F,P 分别为AB,AC,BC 上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置,使平面A 1EF⊥平面EFB,连接A 1B,A 1P,Q 为A 1B 上一点,连接PQ,CQ.(如图2) (1)若Q 为A 1B 中点,求证:PQ∥平面A 1EF; (2)求证:A 1E⊥EP;(3)求CQ 与平面A 1BE 所成角的正切值.解析 (1)证明:取A 1E 的中点M,连接QM,MF, 在△A 1BE 中,Q 、M 分别为A 1B 、A 1E 的中点, ∴QM∥BE,且QM=12BE.在题图1中,∵AA AA =AA AA =12,∴PF∥BE,且PF=12BE, ∴QM∥PF 且QM=PF, ∴四边形PQMF 为平行四边形. ∴PQ∥FM.又∵FM ⊂平面A 1EF,且PQ ⊄平面A 1EF, ∴PQ∥平面A 1EF.(2)证明:如图,取BE 中点D,连接DF,∵AE=CF=1,DE=1, ∴AF=AD=2. 又∠A=60°, ∴△ADF 是正三角形. ∵AE=ED=1,∴EF⊥AD, ∴在题图2中有A 1E⊥EF.∵平面A 1EF⊥平面EFB,平面A 1EF∩平面EFB=EF, ∴A 1E⊥平面EFB,又EP ⊂平面EFB,∴A 1E⊥EP.(3)作CN⊥BE 于N,连接QN,则CN∥EF. ∵EF⊥A 1E,EF⊥BE,A 1E∩BE=E, ∴EF⊥平面A 1BE.因此,CN⊥平面A 1BE,即QN 是CQ 在平面A 1BE 内的射影. ∴∠CQN 为CQ 与平面A 1BE 所成的角. 由计算可得CN=3√32,BQ=12A 1B=√52,cos∠A 1BE=√5.∴QN 2=BQ 2+BN 2-2BQ·BN·cos∠A 1BE=12. ∴QN=√22.∴tan∠CQN=AAAA =3√32√22=3√62.即CQ 与平面A 1BE 所成角的正切值为3√62.解题分析 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,考查线面角的求法,正确找出CQ 与平面A 1BE 所成的角是解答该题的关键.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。