“割补法”求解不规则几何体体积
我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．
一、来自三棱柱的截体
例1 如图1，正四面体A BC D -中，E F G H ，，，分别是棱
A B A C B D C D ，，，的中点，求证：平面EFH G 把正四面体分割成
的两部分几何体的体积相等．
分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，
因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？
如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就
说明我们应该选择割．
证明：连结C E C G A G A H ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．
当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．
二、来自正方体的截体
例2 如图2，已知多面体ABC D EFG -中，A B A C A D ，，两两互相垂
直，平面ABC ∥平面D E F G ，平面BEF ∥平面A D G C ，
2AB AD D C ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
解法一（割）：如图3，过点C 作C H D G ⊥于H ，连结EH ，这样就
把多面体分割成一个直三棱柱D EH ABC -和一个斜三棱柱BEF C H G -．
于是所求几何体的体积为：
DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然
所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =
⨯=．
三、来自圆柱的截体
例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的
最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则
该几何体的体积等于_______．
解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上
面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长
1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221
π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．
解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与
已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么
所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是
21
π2510π2V =⨯⨯⨯=．
例1、
已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积
提示：设三棱锥S-ABC ，侧面SAC 、SBC 为等边三角形，边长为 ，SA ⊥SB 。

取SA 中点E ，AB 中点F ，连接AE 、BE 、EF 。

可证得：SC ⊥平面ABE 。

利用：
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。

法二：取AB 中点D ，连接SD ，CD 。

易得△ABC
为等腰直角三角形，∠ACB=90o 。

则有SD ⊥AB ，
CD ⊥AB 。

又SA=SB=SC ，∴S 在底面的射影为底
面的外心，即点D ，∴SD ⊥平面ABC 。

∴由VS-ABC= S △ABC •SD 得三棱锥体积。

例1．如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度
为h ，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。

R
2R h V 1 V 2
V 2=V 1+V 球
6。