ix i *cos i i y i *sin ；
再根据时间变化的倾角计算公式[5]：
3
ix ix (0) cos it 0.973iy (0) sin it 0.128 sin it iy 1.028ix (0) sin it iy (0) cos it 0.131(1 cos it )
现有卫星经度 -110.07 -99.21 96.53 109.91 2.85 2.85
地心距 1.658 0.231 0.000 0.397 0.058 1.055
时间差 0.886 1.966 1.132 0.918 1.970 1.510
地心距差值为2km，时间相差3min
经过年数 t 4 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9
1.195 0.213 0.703 1.978 0.397 0.324 0.058 1.055 0.938
2.262 2.498 2.506 2.391 0.918 2.840 1.970 1.510 2.340
5.1.3 .问题一结果分析
由上述表格的数据，可以比较直观的发现，随着年份的增长，卫星之间的碰 撞风险也在增长， 进而停留在一个相对稳定的水平。 进而用 Excel 进行统计分析， 可以发现易碰撞的卫星分布于 90°—120°、0°左右及-90°—-110°之间，进 而可以判断出， 处于该区域的卫星数目比较密集， 是同步卫星碰撞风险的高发区。
1
1.问题重述
由于同步卫星的技术与经济原因， 许多发射的卫星已经报废， 并且未经处理。 有些停留在地球的同步卫星轨道上，有些由于某种原因已经成为碎片， 随时可能 与处于工作状态的同步卫星发生碰撞。据统计， 如果不及时清理地球同步轨道上 的垃圾， 同步轨道将在 20 年左右报废[1]。 分析我国发射同步卫星发生碰撞的风 险是一个十分重要的问题。 1、根据所给附件，建立一个时间模型来描述我国发射同步卫星发生碰撞风 险的变化规律。 要考虑到随着时间的变化， 卫星实际运行轨道与赤道平面的夹角 的变化规律，从而进行分析。 2、由于同步轨道资源的有限性，继而考虑到我国社会发展的需求，以及太 空技术的发展， 使用上一问中的模型， 通过对比卫星所能够带来的经济效益与现 有的清除报废卫星及其碎片的技术所花费的资金， 判断进行轨道清理是否具有经 济价值，为我国保持同步卫星轨道安全提供最优的方案。
时间差 2.874 2.613 2.922 2.557 2.722 2.513 2.661 0.886 2.579 1.966 2.692 2.425 1.132
9 9 9 9 10 10 10 10 10
69 83 94 106 3 94 97 110 116
68.5 82.94 93.5 105.5 2.85 93.5 96.53 109.91 115.58
Δα c e T t r

F G M g I m
5.建立模型并分析
5.1 问题一 5.1.1 问题一模型的分析 同步卫星受到地球非球形引力、日月引力和太阳光压的影响， 会引起卫星轨 道面和形状发生变化。 我们根据太阳、 月球摄动和地球引力势的带谐项引起卫星 轨道倾角的漂移与经过时间的关系可以建立时间模型[3]。 （1）轨道倾角：简称倾角。指航天器绕地球运行的轨道平面与地球赤道平 面之间的夹角，分为顺行轨道、逆行轨道和极轨道。 倾角矢量[4]：
同步卫星轨道
摘要
由于在卫星运行过程中，因为太阳风、辐射压、地球重力场变化、太阳和月 球引力作用等影响，造成卫星与预设轨道的偏离。并且，某些同步卫星在过了使 用年限后仍停留在在地球同步轨道(GEO)上，或者由于某种原因分解成碎片，对 后续发射的同步卫星造成碰撞的威胁。针对这一热点问题，我们做出以下讨论。 针对问题一：利用了卫星轨道倾角漂移与时间的关系，建立了卫星倾斜角的 时间关系模型，从同步卫星是否会发生碰撞的可能性出发，进行三次筛选：第一 次，由近地点和远地点的距离，将不可能发生碰撞的卫星筛除；第二次，排除轨 迹投影交线处地心距相差较大的目标；第三次， 筛除经过交点处时间差较大的目 标。 根据该时间模型， 分析得到我国发射同步卫星发生碰撞风险的变化规律为碰 撞几率会逐年增加，并且发现，易碰撞的卫星主要分布于 90°—120°、0°左 右及-90°—-110°之间，进而可以判断出，处于该区域的卫星数目比较密集， 是同步卫星碰撞风险的高发区。 针对问题二：首先，根据问题中所求得的时间模型，判断出具有碰撞风险的 报废卫星，其次，根据现有的卫星及碎片的清理手段，分析清理方式的可行性， 发现将废弃的卫星送进空间垃圾轨道这种方法比较可行。 最后通过所查询到的计 算公式， 将最初筛选出的报废卫星的情况带入该公式， 计算出清理卫星或碎片所 需要消耗的燃料数，进而推算出所需花费的资金，与现有经济效益进行比较，得 出我们应该对同步卫星轨道进行清理的结论。 关键词：同步轨道卫星 筛选 轨道偏移 碰撞风险 空间垃圾轨道 经济效益
其中， ix (0) 和 iy (0) 为轨道倾角初始值。 当卫星为我们所假设的同步卫星时，根据假设 ix (0) 、iy (0) 均为 0，则简化模 型，最终得到的卫星轨道倾角的漂移为：
ix 0.128sin it iy 0.131(1 cos it )
其中，
i 为轨道平面周期性进动的角频率。
u0
、 u1 , 通过公式
t T / 360* u ，
t 可以计算卫星和碎片在交点的时间 0 、 t1 ，于是过交线的时间判别为
5
t0 t1 4* t
，
其中根据双行根数的经度，可以将 t 设置为 1min，2min，3min，得到不同经度 值的条件下，不同年份间的碰撞情况。
u
u 0 ， u1 即可确定两卫星轨道面的交线。
a (1 e 2 ) 1 e cos f
(2)地心距的判别 向径（地心距）：
r f
其中， 值。
u 2 ，且 u 为上一问所求的升交点到交点的弧长。
由以上公式就可以确定两卫星在交点的空间位置 r ，然后可以得到地心距的 于是地心距判别为：
r0 r d
，
其中根据双行根数的经度 d 和卫星大小，可将 d 设置为 d =2km。
5.1.2.3 第三次筛选 两卫星通过交线的时间差很大时，即使两卫星的地心距比较小， 两卫星仍无 法相撞， 所以对于选出地心距相差较小的目标(这时目标数量已很少)， 再计算两 卫星通过交线的时间，并选择一个合适的时间差筛选出这部分卫星。 根据升(降) 段的
（2）半长轴：是椭圆（行星公转轨道）长轴的一半长，长轴是过焦点与椭 圆相交的线段长。半长轴长即是行星离主星的平均距离。 计算方式为半长轴=（近地点高度+远地点高度)/2+地球半径。其中，近地点 （Perigee）指航天器绕地球运行的椭圆轨道上距地心最近的一点。远地点则相 反 （3）偏心率：用来描述轨道的形状，用焦点间距离除以长轴的长度可以算 出偏心率。偏心率一般用 e 表示。 （4）真近点角：天体从近点起沿轨道运动时其向径扫过的角度。 5.1.2 问题一数据的筛选 对于同步卫星发生碰撞的风险问题，首先要排除不可能发生碰撞的卫星， 由 近地点和远地点的距离，将卫星筛除；再对可能碰撞的卫星进行分析，第二次， 排除轨迹投影交线处地心距相差较大的目标；第三次， 筛除经过交点处时间差较 大的目标。于是我们根据以上方式，对数据进行三次筛选： 5.1.2.1 第一次筛选 首先利用两卫星之间的运动轨迹，筛选出部分不可能发生碰撞的卫星， 即近 地点高度大于卫星高度或远地点高度小于卫星高度的卫星。两卫星轨迹不相交， 自然不可能发生碰撞。 通过利用 EXCEL 进行筛选，可以很明 显的发现，所剩余的卫星类型均属于 GEO （同步卫星轨道）和 Elliptical（椭圆卫 星轨道）。再剔除掉数据有残缺的无法进 行接下来的计算的卫星。 筛选结果剩余 509 个卫星，即 509/1381。
3.模型的假设
1、假设题目所给的数据真实可靠。 2、 假设发射同步卫星的初始轨道倾角为 0°， 偏心角为 0°， 高度为 35786km， 周期为 1436min，形状近似为一个直径为 0.05km 的球体。 3、假设地球为半径为 6400km 的球体。 4、假设在其他条件的影响下，只有轨道倾角会发生变化。 5、假设所有卫星到达赤道的时间相同。
5.1.2.2 第二次筛选 其次我们利用一种性质：两目标之间 的碰撞， 总发生在两目标轨道面交线附近。
4
计算两目标轨道面的交线， 判别两目标通过交线处的地心距， 排除那些地心距相 差较大的目标，选出地心距相差较小的目标。 （1）计算两卫星轨道面的交线 图一给出了卫星与卫星的轨道投影的天球图。C 表示交点， 为交角，A，B 为轨道升交点, 弧 A B 为两者的升交点赤径差 ，AC、BC 分别表示卫星从它 的升交点到交点的弧长 u 0 、 1 。 解球面三角形[6]可以得到： cos cos i1 cos i 0 sin i1 sin i 0 cos sin sin u1 sin i1 sin sin sin u 0 sin i 0 sin 得到的
2.问题分析
对于问题一：若卫星在入轨后一直按固定轨道运动，则卫星不会发生碰撞。 然而，卫星会由于太阳风、辐射压、地球重力场变化、太阳和月球引力作用等影 响，引起卫星轨道面发生变化[2]，这些因素反映在轨道的倾角变化上。对于我 国发射同步卫星发生碰撞风险问题，首先，要进行碰撞可能性的分析，进行三次 筛选[3]：第一次，由近地点和远地点的距离，将不可能发生碰撞的卫星筛除； 第二次，排除轨迹投影交线处地心距相差较大的目标；第三次，筛除经过交点处 时间差较大的目标。然后，根据所建立有效卫星的倾斜角与时间的关系，进而分 析出碰撞风险随时间的变化规律。在这里， 我们用到了筛选以及模型构建的方法 求解。 对于问题二： 由于要对卫星的经济效益进行分析， 因此我们要考虑到清理卫 星或碎片所需要花费的资金，从而与现有经济效益进行比较。要完成这一目标， 首先，根据问题中所求得的时间模型，判断出具有碰撞风险的报废卫星，其次， 根据现有的卫星及碎片的清理手段， 我们选择将废弃的卫星送进空间垃圾轨道这 种方法。 通过找到清理废弃卫星多消耗的燃料量和卫星轨道半长轴的变化之间的 关系， 计算出清理卫星或碎片所需要消耗的燃料数， 通过查询资料得到卫星燃料 的单位质量的价格，进而推算出所需花费的资金，与现有经济效益进行比较，得 出我们应该对同步卫星轨道进行清理的结论。