高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。
（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）2.遇到AB =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔u u A B ⊇； ⑷u u A B A B =∅⇔⊆； ⑸u A B U A B =⇔⊆； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。
如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集，如设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =_ _ （答：[4,)+∞）；6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，若3M ∈且5M ∉求实数a 的取值范围。
（答：(]519253a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，） 7.四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为（答：在ABC ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。
8.充要条件。
关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。
如设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。
若p 是q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2） 二、不等式1. 不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤ba ab b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：[]1,7）（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >） 3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b>的形式，若0a >,则b x a >；若0a <,则b x a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？设0a >,,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表：如解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。
（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<） 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。
首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。
对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)6. 一元二次方程根的分布理论。
方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？ 0()0()02f m f n b m an ∆≥>><-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、()0f k <）。
根的分布理论成立（0()02f k b k a∆≥>->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。
（答：3(3,)2-） 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。
如（1）32ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为________（答：),1()1,(+∞---∞nm ）；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。
8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：[){}1,2+∞-） （2）不等式(0x -≥的解集是____（答：[){}3,1+∞-）（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：()[),12,-∞+∞）（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是.（答：817,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭） 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。