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2.求极小曲面方程具有如下形式的特解：
(1)
u
f
y x
(2) u f x2 y2
解：对于(1)只要令 t y ，则要求的解为 u f t ，
x
利用复合函数求导数的方法可将极小曲面方程化成：
1 t2 f t 2tf t 0
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再关于 t 积分两次即可得到答案。
对于(2)也可参考(1)的做法,令 t x2 y2 ,将 u f t
代入极小曲面方程并简化得：
tf f f 3 0
再令 得
g f
tg g g3 0
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这是一个非线性的一阶常微分方程，再作代换 g 1 h
1.指出下列方程哪些是线性的，哪些是非线性的，若 是非线性方程说明是什么类型的非线性。
(1) ut u f u
(2) t 2u 2 u 2xt
xt x
(3) ut um f x1, x2, , xn, u, t m 1
(4)
sin2
x
2u x 2
2 y sin
x
2u xy
y2
2u y 2
0
(5) ut 6uux uxxx 0
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(6)
u x
2
u y
2
u z
2
u
(7) ut a u xx ux2 ，其中 as 是 s 的二次连续
可微的函数。
(8) F x1, x2 , , xn , u, uxi , uxi xj 0, i, j 1, , n
就可得到关于 h 的一阶线性常微分方程，ห้องสมุดไป่ตู้出它
的一个特解即可得到 f t ，再积分一次。
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解：（1）为非线性方程，是拟线性的方程 ； （2）是线性方程 ； （3）为非线性方程，是拟线性的方程； （4）是线性方程； （5）为非线性方程，是拟线性的方程； （6）为非线性方程，是完全非线性的方程； （7）为非线性方程，是拟线性的方程； （8）为非线性方程，是完全非线性的方程。