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图形与证明（二） 复习课
基础知识
等腰三角形
等边对等角 等角对等边
三线合一
顶角平分线 底边上的高 底边上的中线
全等三角形的 判定
基础知识
SAS
ASA SSS 斜边直角边 （HL）
四边形
基础知识
矩形
平行四边形
正方形
菱形
梯形
等腰梯形 直角梯形
基础知识
三角形中位线
数量关系 （ DE＝ 1 BC ） 2
（1）求证：四边形 AEFG 是平行四边形；
（2）当∠FGC=2∠EFB 时，求证：四边形 AEFG 是矩形。
A
D
E
G
B
FC
新题精选
新题十一已知：将一副三角板(Rt△ABC 和 Rt△DEF)如图①摆放， 点 E、A、D、B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。
将 Rt△DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，
(请直接回答“成立”或“不成立”)
A
D
G
F
BE
C
新题精选
新题十五（2）若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延
长线上，且 CE=DF，此时上面的结
论①、②是否仍然成立？ A
D
若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由。
G
EB
C
F
新题精选
新题十五 （3）在(2)的基础上，连接 AE 和 EF，
经典回顾
经典四 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H 是各边中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形
A
F E
B
D
G
H
C
经典回顾
经典
相关 1.如果一个四边形的四边中点顺次 连接后所得的四边形是菱形，那么 这个四边形要满足什么条件？
2.等腰梯形的四边中点顺次连接所
得的四边形是
。
经典回顾
经典
D
相关
3.若方程x2-2x=1的两根为x1、x2， 不解方程，求下列各式的值：
⑴
1 x12
+
1 x22
⑵x1-x2
4.求作一个一元二次方程，使 它的根分别是2x2-3x-2=0的各 根的平方.
5.把下列各式分解因式：
⑴4x2-4x-1
⑵2x2+8xy+5y2
6.已知；实数a、b满足a2-7a+2=0，
长是方程 x2 7x 12 0 的一个根，则菱形
ABCD 的周长为
.
新题精选
新题六 已知等腰三角形的腰长是 6cm，底边长是 8cm，
那么以各边中点为顶点的三角形的周长是
.
新题精选
新题七如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、AD 上的点 且 CE=DF，AE、BF 相交于点 D，下列结论 ①AE=BF；②AE⊥BF；③ AO=OE；④S△AOB=S 四边形 DEOF 中， 错误的有( ) (A)1 个(B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
若点 M、N、P、Q 分别为 AE、EF、FD、AD
的中点，请判断四边形 MNPQ 是“矩形、菱形、
正方形、等腰梯形”中的哪一种？
并写出证明过程。
A
Q
D
G M
P
B
E
C
N
第二十一讲
一元二次方程根 与系数的关系
1.已知方程4x2+kx-6=0的一根 是3，求方程的另一个根和k的 值.
2.已知α、β是方程x2+2x-5=0的 两个根，求α2+αβ+2α的值.
F
E
M
G
A
CH
B
经典回顾
经典 相关
A D
B C
经典回顾
经典五 如图，正方形 A
D
ABCD的对角线AC、
BD相交于点O；正
O
方形OEFG的顶点与
N
点O重合.
B
M
C
求证：OM=ON
E
F
经典回顾
经典
AA
相关
OO
MM
E
BB
NN
CC
G F
新题精选
新题十二 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰
梯形拼成一个四边形，则图中∠ 的度数是（ ）
将 Rt△DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，
在旋转过程中，直线 DE、AC 相交于点 M，直线 DF、BC 相交于点 N，分别过点 M、N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、H。 （32）当 α0°＝＜60α°＜时90(如°图时③ ，()1，)中(1的)中结的论结是论否是成否立成？立？ 请写出你的结结论论，，并并根说据明图理④由说；明理由。
在旋转过程中，直线 DE、AC 相交于点 M，直线 DF、BC 相交于点 N，分别过点 M、N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、H。
（1）当 α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
新题精选
新题十一已知：将一副三角板(Rt△ABC 和 Rt△DEF)如图①摆放， 点 E、A、D、B 在一条直线上，且 D 是 AB
C
经典 相关
E
经典回顾
A
F
D
A D
B
C
B
E
FC
经典回顾
经典三 已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是 BC上的点，DE⊥AB，DF⊥AC
A
求证：DE＋DF＝CG
G
E
F
B
D
C
H
经典回顾
经典
相关
A
E G
B
C
D
F
经典回顾
经典
相关
A
E8
D
F
6
G O
B
C
经典回顾
经典
相关
4
A
D
E G
F
B
HC
新题十五 在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G， 则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE。(不需要证明)
A
D
G F
B
E
C
新题精选
新题十五 (1)若点 E、F 不是正方形 ABCD 的
边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF。
则上面的结论①、②是否仍然成立？
位置关系 (DE∥BC )
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
1 ∴ DE∥BC， DE= 2 BC.
E
B
A D C
经典回顾
经典一 等腰三角形两边长分别为3和5， 求该三角形的周长。
等腰三角形两边长分别为3和7， 求该三角形的周长。
经典回顾
经典二 已知△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC 和∠ACB，EF经过D点且EF∥BC. 若求△证A：BECF的＝周B长E＋为C3F6，BC＝13， A 求△AEF的周长。
请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．
（1）写出所有的真命题（写成“
形式，用序号表示）： （2）请选择一个真命题加以证明．
你选择的真命题是：
证明：
”Ｃ ．
1 ．Ａ
Ｄ 2
Ｂ
新题精选
新题十 在梯形 ABCD 中 AD∥BC，AB=DC。点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上，AE=GF=GC。
新题精选
新题四 在直角梯形 ABCD中， ABC 90 ，
DC ∥ AB ， BC 3， DC 4 ， AD 5．动点
P 从 B 点出发，由 B C D A沿边运动，
则 △ABP 的最大面积为（ ）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．14 Ｄ．16 D
C
P
A
B
新题精选
新题五 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的
Ａ． 60 Ｂ． 55 Ｃ． 50 Ｄ． 45
新题精选
新题十三
在 △ABC 中， ACB 90 ，
BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于 D ， 交 AB 于 E ，且 CF BE ． （1）求证：四边形 BECF 是菱形． （2）当 A的大小满足什么条件时， 菱形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．
新题精选
新题八 在矩形 ABCD 中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH 的
交点 P 在 BD 上，图中面积相等的四边形有( )
(A)3 对 (B)4 对 (C)5 对 (D)6 对
A
E
D
G
P
H
B
F
C
新题精选
新题九
在 △ABC 和 △ABD 中，现给出如下三个论断： ① AD BC ；② C D ；③ 1 2 ．
新题精选
新题十四 如图，已知 △ABC 的面积为 3，且 AB AC ， 现将 △ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到 △EFA ． （1）求 △ABC 所扫过的图形的面积； （2）试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 BEC 15 ，求 AC 的长． B
C
新题精选
新题精选
新题一 在下列命题中，真命题是（ ） （A）两条对角线相等的四边形是矩形； （B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形； （C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； （D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方
形。
新题精选
新题二
如图，平行四边形 ABCD的周长是 48，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O ， △AOD 的周长比 △AOB 的周长多 6，若设 AD x ，
AB y ，则可用列方程组的方法求 AD ， AB 的长，这个方程组