3.1函数的概念及其表示基础练习题一、单选题 1．设2,10,()(6),10x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(9)f =（ ）A ．13B ．12C ．11D ．102．函数111y x =--的图象是（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知函数()y f x =的定义域为[6,1]-，则(21)()2f x g x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞-⋃-B ．7,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]11,3-D ．7,2(2,0]2⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭4．函数0()(2)2f x x x=++-的定义域为（ ） A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()(),22,2-∞-⋃- C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞5．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ） A ．2()1,()11f x x g x x x =-=-+ B ．0()1,()f x g x x ==C ．,0(),(),0x x f x x g x x x >⎧==⎨-≤⎩D ．233(),()f x x g x x ==6．已知函数1()2f x x =-，则函数(21)f x +的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ B ．{|2}x x ≠C ．{|5}x x ≠D ．1|2x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭7．已知函数21,0()(2),0x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，则(1)=f （ ）A ．1B ．0C ．-1D ．28．函数123xy x -=++的定义域为（ ） A ．312x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭B ．312x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．3{|12x x -≤≤且0}x ≠ D ．3{|12x x -≤<且0}x ≠ 9．已知函数()y f x =的定义域是[2,3]-，则(1)y f x =+的定义域是（ ） A ．[1,2]B ．[3,4]C ．[1,4]-D ．[3,2]-10．下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，且()()10f a f +=，则a 等于（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．312．函数f (x 23x + ） A ．[0，+∞) B ．[3，+∞)C ．3+∞)D ．[03二、填空题 13．函数4()-=x f x 的定义域为________；14．设函数()y f x =满足111x f x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭，则()f x 的表达式为____________. 15．已知函数2,0,()1,0,x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩则()()21f f a +=_______．16．函数()2,11,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩的值域为________．三、解答题17．求下列函数的定义域. （1）0y x x=-；（2）1232y x xx =+-+-. 18．已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩．（1）求()()5ff 的值；（2）画出函数()f x 的图象．19．已知函数()()1f x x x =+，试画出()f x 的图象，并根据图象解决下列两个问题．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．20．若函数()132f x x x =++. （1）求()3f -、()21f a +；（2）求函数()f x 的定义域.21．已知函数()()22323x x x f x -=<-≤+.（1）用分段函数的形式表示函数()f x ； （2）画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的值域. 22．（1）已知f 1x x ⎛⎫-⎪⎝⎭=x 2+21x，求f (x )； （2）已知一次函数f (x )满足f (f (x ))=4x -1，求f (x )；参考答案1．A 【分析】将9x =代入分段函数的解析式即可求解. 【详解】()()91515213f f ==-=，故选：A 2．B 【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】依题意111y x =--的定义域为{}|1x x ≠，由此排除CD 选项. 当0x =时，11201y =-=-，由此排除A 选项. 故选：B 3．D 【分析】由题意可得：621120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解不等式组即可求函数的定义域.【详解】 由题意可得：621120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩ ，解得：702x -≤≤且2x ≠-，故(21)()2f x g x x +=+的定义域是7,2(2,0]2⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭，故选：D 4．B 【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(2)f x x =++， 则2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解得2x <且2x ≠-，所以函数的定义域为()(),22,2-∞-⋃-. 故选：B 5．C 【分析】对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =∈-∞⋃+∞=≥，定义域不同，不是同一个函数；B ，()()0()10,()f x x R g x x x ∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；C ，,0,0(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>⎧⎧===⎨⎨-≤-≤⎩⎩，解析式定义域都相同，是同一个函数；D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 6．A 【分析】由题意可得2x ≠，所以212x +≠，即可得解. 【详解】 由函数1()2f x x =-，可得：2x ≠， 所以212x +≠， 解得12x ≠， 故选：A. 7．B【分析】根据分段函数的解析式，代入1x =即可求值. 【详解】因为21,0()(2),0x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2(1)(12)(1)(1)10f f f =-=-=--=， 故选：B 8．C 【分析】根据偶次根式被开放非负分母不为0列式可解得结果. 【详解】由函数y =有意义得230100x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≠⎩，解得312x -≤≤且0x ≠.故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 9．D 【分析】令213x -≤+≤即可求出. 【详解】函数()y f x =的定义域是[2,3]-，∴在(1)y f x =+中，213x -≤+≤，解得32x -≤≤， ∴(1)y f x =+的定义域为[3,2]-.故选：D. 10．C 【分析】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ，都有唯一确定的数y 与之对应. 【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x ， 都有唯一确定的数y 与之对应，所以ABD 选项的图象不是函数图象，故排除, 故选：C. 11．A 【分析】计算出()1f 的值，然后分0a >和0a ≤解方程()()10f a f +=即可得解. 【详解】()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，()12f ∴=.当0a >时，()20f a a =>，此时关于a 的方程()()10f a f +=无解； 当0a ≤时，()1f a a =+，由()()10f a f +=可得30a +=，解得3a =-. 综上所述，3a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．C 【分析】首先计算23x +的范围，再计算函数的值域. 【详解】233x +≥，≥∴函数()f x =)+∞.故选：C 13．[4,)+∞ 【分析】要使函数有意义，则4030x x -≥⎧⎨-≠⎩，据此即可求出函数的定义域．【详解】由题意可知，4030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，()f x ∴的定义域为[4,)x ∈+∞.故答案为：[4,)x ∈+∞. 14．()()211f x x x=≠-+ 【分析】 令121111x t x x -==-+≠-++，得出11t x t -=+，代入原式，即可得出结果. 【详解】 令121111x t x x -==-+≠-++，则11t x t-=+， 代入111x f x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭可得()()121111t f t t t t -=+=≠-++， 因此()()211f x x x=≠-+. 故答案为：()()211f x x x=≠-+15．2 【分析】利用分段函数解析式即可求解. 【详解】由2,0,()1,0,x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩因为210a +≥ 所以()()()2122ff a f +==.故答案为：2 16．(],2-∞ 【分析】分别求出函数()f x 在区间[)1,+∞和(),1-∞上的值域，取并集可得出函数()f x 的值域. 【详解】当1x <时，()12f x x =+<； 当1≥x 时，()(]20,2f x x=∈. 综上所述，函数()f x 的值域为(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】求分段函数的值域，一般将每支函数在对应区间上的值域求出，再取并集即得结果. 17．（1）()(),11,0-∞--；（2）()3,00,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【分析】 （1）由题意可得10,0,x x x +≠⎧⎨->⎩，解不等式组即可求解；（2）由题意可得230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解不等式组即可求解.【详解】（1）由10,0,x x x +≠⎧⎨->⎩得10x x ≠-⎧⎨<⎩，故函数0y =()(),11,0-∞--，（2）由230,20,0,xxx+≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩得3,22,0.xxx⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪⎩∴322x-≤<且0x≠.故函数的定义域是()3,00,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭18．（1）1；（2）图象见解析.【分析】（1）利用函数()f x的解析式由内到外可逐层计算出()()5f f的值；（2）根据函数()f x的解析式可画出该函数的图象.【详解】（1）()24,02,042,4x xf x x x xx x+≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，()5523f∴=-+=-，则()()()53341f f f=-=-+=；（2）函数()f x的图象如下图所示：19．（1）单调递增区间为1(,]2-∞-，[0,)+∞；单调递减区间为1[,0]2-；（2）34. 【分析】根据函数过11(1,0),(,),(0,0),(1,2)24--，即可画出函数图象，（1）由所得图象写出单调区间即可；（2）写出区间端点值、极值，再比较它们的大小即可得最大值. 【详解】22,0()||(1),0x x x f x x x x x x ⎧--≤⎪=+=⎨+>⎪⎩的图象如图所示．(1) ()f x 在1(,]2-∞-和[0,)+∞上是增函数，在1[,0]2-上是减函数， ∴()f x 单调递增区间为1(,]2-∞-，[0,)+∞；单调递减区间为1[,0]2-；(2)∵11()24f -=，13()24f =， ∴()f x 在区间1[1,]2-上的最大值为34.【点睛】本题考查了根据函数解析式画函数图象，利用图象确定函数的性质，属于简单题.20．（1）()31f -=-,()2221143f a a a +=++；（2）[)()3,22,---+∞.【分析】（1）利用函数()f x 的解析式可求得()3f -、()21f a +的值；（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，进而可求得函数()f x 的定义域. 【详解】 （1）()132f x x x =++，()1333123f -=-+=--，()2221143f aa a +=+++； （2）对于函数()132f x x x =+++，则有3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≥-且2x ≠-. 因此，函数()132f x x x =+++的定义域为[)()3,22,---+∞.【点睛】本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.21．（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）图象答案见解析；（3）(]0,2.【分析】（1）分20x -<≤和03x <≤两种情况去掉绝对值可求出函数的解析式； （2）根据（1）的解析式画出函数的图像； （3）根据函数图像可求出函数的值域 【详解】（1）()2,2012,033x x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. （2）函数()f x 的图象如下图所示.（3）由图得函数()f x 的值域为(]0,2. 【点睛】此题考查分段函数，考查由函数解析式画函数图像，根据图像求出函数的值域，属于基础题 22．（1）f (x )=x 2+2；（2）1()23f x x =-或()21f x x =-+. 【分析】（1）利用配凑法可求函数的解析式. （2）利用待定系数法可求函数的解析式. 【详解】（1）(配凑法)∵2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22f x x =+.（2）(待定系数法)∵f (x )是一次函数，∴设f (x )=ax +b (a ≠0)， 则f (f (x ))=f (ax +b )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b .∵f (f (x ))=4x -1，∴241a ab b ⎧=⎨+=⎩－，解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩， 1()2()213f x x f x x ∴=-=-+或.【点睛】本题考查函数的解析式的求法，常用的方法有待定系数法、配凑法、函数方程组法等，注意根据题设的特征选择合适的方法，本题属于基础题.。