数学归纳法（第一课时）罗源三中数学组 尤永礼【教学目标】1、过程与方法：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。

2、情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成数学的意识和科学精神；感受数学内在美，激发学习热情。

3、知识与技能：使学生理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。

掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。

培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤。

【教学难点】正确理解数学归纳法思想及第二步递推思想的实质【学法指导】培养学生动手探究、知识迁移、质疑与纠错能力；体验观察、质疑、试验、实证、推想、分析等数学学习方法；理解类比、归纳、猜想、递推等数学思想。

【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】1、新课引入：(1)第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容;借助数学史料, 促使学生思辨问题1：据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。

问题2：数列1,1,1,1,1},)55{(432122=====+-n a a a a a n n 得问题3： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题4：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180，于是有：凸n 边形的内角和为(n-2) • 180°。

问题5：.1,,...)3,2,1(1,1},{11n a n a a a a a n n n n n ==+==+数列通项已知数列请问：以上五个结论正确吗？为什么?（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）得出以上结论均用了归纳法得出结论；但不能保证猜想的结论的正确性。

当有一些命题是与所有正整数有关时，由于正整数n 的无限性，我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？(2)第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构1、搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像搜索：再举几则生活事例：推倒自行车,放鞭炮等。

2、 类比数学问题, 激起思维浪花学生观看后思考：多米诺骨牌为什么能全部倒下？如果第一个骨牌推而不倒，骨牌能否全部倒下？若中间有一个骨牌发生意外没有倒下，情况又会怎么样？从而得到多米诺骨牌要全部倒下依赖两个条件：一、第一张骨牌被推倒。

二、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

若用第一张骨牌倒下对应n=1时命题成立，用第二张骨牌倒下对应n=2时命题成立，以此类推，当骨牌全部倒下时，命题对所有的N 成立。

用数学语言来表达要证明一个与正整数有关的命题成立：可以分两步进行，一、证明n=1时命题成立；二、假设n=k 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。

从而命题对所有正整数n 都成立。

教师指出这种证明问题的方法就是数学归纳法。

例题1 在数列{n a }中, 1a ＝1, nn n a a a +=+11(n=1，2，3，… ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论。

（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力）．3、 引导学生概括, 形成科学方法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：①（归纳奠基）证明当n 取第一个值)(*00N n n ∈时命题成立；②（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）（3）例题讲解：例题2 证明：凸n 边形的内角和为(n-2) • 180°强调：0n n =验证应注意的事项做一做：1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( C )(A)n ＝1时成立 (B)n ＝2时成立 (C)n ＝3时成立 (D)n ＝4时成立2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是( D )(A)1 (B)1＋2 (C)1＋2＋3 (D)1＋2＋3＋43．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( C )(A)当n ＝6时该命题不成立(B)当n ＝6时该命题成立(C)当n ＝4时该命题不成立(D)当n ＝4时该命题成立总结：①第一步是归纳的奠基，没有这一步就如同空中楼阁。

第一步的0n 不一定是1，要根据具体问题而定（例2）。

②第二步的证明一定要使用“假设”的条件，而不能直接将1+=k n 代入合题，便断言命题成立（例3）。

例如:用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法： 设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时,12212122222111132-=--=++++++++-k k kk ． 你认为上面的证明正确吗？为什么？又如:奇数是2的倍数证明：假设奇数k 是2的倍数，则后一个奇数k+2也是2的倍数。

所以，奇数是2的倍数你认为上面的证明正确吗？为什么？总结：①第一步是归纳的奠基，没有这一步就如同空中楼阁。

第一步的不一定是1，要根据具体问题而定。

②第二步的证明一定要使用“归纳假设”这个条件。

（4）课堂练习【1】用数学归纳法证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列}{n a 的通项公式是*1)1(N n d n a a n ∈-+=，前n 项和公式是)(,2)1(*1N n d n n na S n ∈-+=， 【2】 证明凸n 边形的对角线的条数f(n)＝12n(n －3) (n ≥4，n ∈N *)． （5）师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．一（6）、布置课后作业, 巩固延伸铺垫作业：96页A组1.2（7）反思：一、教学目标的确定针对本节课的教学内容，我参照新的数学课程标准、学生的认知规律、自身的教学条件，按照新课程倡导的三维一体的课堂教学目标，制定了“一、理解数学归纳法的原理，感受数学归纳法的思维方法二、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”这一教学目标，应该说作为数学归纳法的第一节课，这个目标很恰当、科学、全面，而且易于操作，从而保证课堂教学达到应有的基本标准，不至于在教学目标上产生较大的偏差.二、教学行为的反思新课程倡导的是教师是学生学习的引导者、组织者、合作者、促进者，是平等的，而不再是“传道”“解惑”的权威，更不是学生学习知识的“批发商”.将学习的主动权交还给学生，是这节课给我的最大的启示.从本节课一开始就放手让学生主动参与课堂的教学中来。

学生从来不是完全被动地接受知识的，无论什么样数学水平的学生，他们对某些问题都会有自己的想法，因此我让他们先感受多米诺骨牌现象，然后从多米诺骨牌现象中提炼出数学归纳法的本质，并在和他们一起探讨数学归纳法的三个步骤间的逻辑推理关系这一想法的过程中让他们体会到一些重要的数学思想方法，教会他们用这些思想方法指导自己以后的解题.然而，我的课堂教学曾经是灌输为主的，总以为只要抓紧时间将基础知识讲完，然后进行大量的练习和讲评、多讲些例题，就能提高学生的数学成绩.这样的课看起来效率很高，其实不然.我发现有些题目讲过几遍，学生依然会做错，原因就在于灌输的课堂往往不能从学生的实际出发，纠正学生本来的错误，而是把教师的想法和解法填鸭给学生，几乎没有师生之间的交流与互动，这与新课程改革的方向相背离.本节课的例2的处理方式我觉得很恰当，我让一位同学上黑板来板演，后来发现她犯了一个错误，在利用数学归纳法证明问题的时候都没有利用到归纳假设的结论，这一点正是数学归纳法能否将无限的推理论证转化为有限的步骤演绎的关键所在，反映出刚才的讲授学生还没有完全弄清楚数学归纳法的精髓，因此我与学生再次回到多米诺骨牌现象中，与他们一起推敲刚才的论证过程是否是数学归纳法时，他们异口同声的说“不是！”，此时我就有一种新课程理念给我带来的成就感，心里非常的高兴。

数学课程标准指出：“丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念.学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式.”“教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流.教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.”因此，教师的教不仅牵涉到教，更重要的是教为了学.我要转变自己的教学方式，把自己的一些错误的教学行为纠正到新课程标准的要求上来，使教学过程真正变为学生体验数学发现和创造的历程，让学生感受到数学的无穷魅力.三、学生学习方式的反思新课程标准下的学生的学习方式与传统的学习方式有很大的不同，我根据本节课的教学内容，创设了必要的情境和条件，选择了合作型学习方式，让学生的主体地位得到充分的体现，而这些问题在传统教学中容易忽视，但这却是新课程倡导的主要学习方式之一，我们教师要充分把握.四、教学效果的反思根据三维一体的教学目标，对于“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”这三级目标而言，我觉得还是在课堂教学中得到了渗透和体现.我觉得只有围绕教学目标，制定切实可行的三维一体目标，并在课堂中得以充分的渗透和体现，教师的教育教学能力才会有效的提升.一方面师生间的合作学习探究使我们的认知方式产生了质的飞跃，变传统的灌输式为现在主动型探究式；另一方面，通过多米诺骨牌现象，使我们学会了相互合作、交流，这样的学习方式，这样不仅有利于提高团结协作精神，更有利于创新精神的培养.而且使我们认识通过观察、实验、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。