= Wsin(θ-φ)/sin (θ-φ+ψ) 根据解析几何，容易求得滑动楔体的截面ABC的 面积，也就能够得到滑动土楔的重量W：
W = (H2/2)cos(α-β)cos(θ-α) / [cos2α×sin(θ-β)]
将该式代入上面的式子可得：
E = (H2/2)cos(α-β)cos(θ-α)sin(θ-φ)/[cos2α×sin(θ-β)×sin(θ-φ+ψ)]
库伦土压力理论就是从刚性楔体的静力平衡条件推出的 土压力计算理论。
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一、主动土压力
取1m长的挡土墙进行分析，如下图（a）所示。
图 按库伦理论求主动土压力
（a）土楔ABC上的作用力，（b）力矢三角形； （c）主动土压力分布图
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在力矢三角形中运用正弦定理可得： E = Wsin(θ-φ)/sin[1800-(θ-φ+ψ)]
无粘性土： 1 = 3tan2(45o + /2)
或
3 = 1tan2(45o - /2)
对于挡土墙，如果Biblioteka 背直立、光滑、填土表面水平。那么， 在主动土压力条件下， cz = z是最大主应力， cx = cy = pa 是最小主应力，所以：
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2. 土压力分布（强度）
对砂土：
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图 挡土墙的三种土压力 (a) 主动土压力；(b) 被土土动力；(c) 静止土压力
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挡土墙上的土压力及工程应用
Ea<Eo<Ep
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挡土墙上的土压力及工程应用
§8.2 静止土压力计算
1. 土体中一点的自重应力状态
cz = z cx = cy = Koz
2. 静止土压力
K0 =1-sin
(无粘性土和正常固结土)
K0 = (OCR)0.41(1-sin )
(超固结土)
式中: — 土的有效内摩擦角( 0 )。
（3）日本《建筑基础结构设计规范》建议，
不分土的种类， K0 = 0.5 。
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静止土压力计算
§8.3 兰金土压力理论
一、基本原理
图 半空间土体的极限平衡状态
pa = ztan2(45o - /2) = zKa
对粘性土：
pa = ztan2(45- /2) - 2c·tan(45- /2) = zKa - 2cKa1/2
上式中：
K a — 主动土压力系数，Ka = tan2(45o - φ/2)； — 墙后填土的重度，kN/m3，地下水位以下用有效重度； c — 填土的粘聚力，kPa；
强度 p0=cx=cy=K0z（三角形分布） 合力 E0 = (1/2)K0H2 （合力作用点在距墙底(1/3)H的位置）
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图 静止土压力的分布
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静止土压力计算
3. 静止土压力系数K0的确定
（1）经验值：
砂土 K0 = 0.34~0.45 粘性土 K0 = 0.5~0.7 （2）半经验公式法：
— 填土的内摩擦角，度；
z — 所计算的点离填土面的高度，m。
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图 兰金主动土压力强度分布图
（a）主动土压力的计算； （b）无粘性土； （c）粘性土
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3. 总主动土压力
考虑单位长度的挡土墙：
1) 对于无粘性土：作用于挡土墙上的总的主动土压力Ea为：
E a = (1/2)H2tan2(45- /2)
一、挡土墙上的土压力及工程应用
挡土墙是用来支撑天然或人工斜坡不致坍塌， 以保持土体稳定性的一种构筑物。
土压力是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作 用对墙背产生的侧向压力。
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图 挡土墙应用举例 4 挡土墙上的土压力及工程应用
二、土压力的类型
静止土压力：E 0 主动土压力：E a 被动土压力：E p
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三、被动土压力
在被动土压力条件下， z c = z是最小主应力， x = pp是最 大主应力，所以：
1. 对砂土：
pp = z tan2(45o + /2) = zKp
E p = (1/2) H2 Kp 2. 对粘性土：
pp = ztan2(45 + /2) + 2c·tan(45 + /2) = zKp + 2cKp1/2
显然，E = f (θ)
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令dE/dθ = 0，并可得到真正的主动土压力： E a = (1/2) H2Ka
在墙背垂直(() = 0)、光滑( = 0)，填土面水平( = 0)时， 库伦主动土压力系数与兰金主动土压力系数相等。
为求得主动土压力强度pa，可将Ea对z求导数，即： pa = dEa /dz = zKa
第八章 土压力和挡土墙
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本章主要内容
8.1 挡土墙上的土压力及工程应用 8.2 静止土压力计算 8.3 兰金土压力理论 8.4 库伦土压力理论 8.5 常见情况的土压力计算 8.6 其他情况土压力计算 8.7 挡土墙设计 8.8 埋管土压力
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§8.1 挡土墙上的土压力及工程应用
或
E a = (1/2)H2Ka
2) 对于粘性土：需要首先求出产生裂缝的临界深度z0（该深
度的土压力为零），
z0 = 2c/(γKa1/2)
总的主动土压力Ea为：
E a = (1/2)(H - z0)(HKa - 2cKa1/2 )
= (1/2) H2Ka - 2cHKa1/2 +2c2/
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Ep = (1/2) H 2Kp + 2cHKp1/2
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图 兰金被动土压力的计算 （a）被动土压力的计算；（b）无粘性土；（c）粘性土
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§8.4 库伦土压力理论
基本假设是：①墙后的填土是理想的散粒体（粘聚力c = 0）；②墙后有一刚性滑动楔体，也就是不考虑楔体内 部的应力状态，仅考虑整体的极限平衡状态。③滑动破 裂面为一平面。
(a) 半空间内的微元体；(b) 摩尔圆表示的兰金主动和被动状态；
(c) 27.02.2021 半空间的兰金主动状态；(d) 半空间的兰金被动状态。
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二、主动土压力
1、极限平衡条件
粘性土： 或
1 = 3tan2(45o + /2) + 2c·tan(45o + /2) 3 = 1tan2(45o - /2) - 2c·tan(45o - /2)