常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
１．绕点型(手拉手模型）（１）自旋转:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060例题讲解：1. 如图所示,P 是等边三角形ＡＢC 内的一个点,PA=2，PB=32，PC ＝４,求△ABC 的边长。
CA BP2. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点,已知:∠A ＯB=11５°,∠B ＯC=１２5°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？3。
如图,Ｐ是正方形ABCD 内一点,且满足PA ：ＰD ：P Ｃ＝1：２:３，则∠AP Ｄ= ．A BCO4．如图(2—１）:P是正方形AＢCＤ内一点，点Ｐ到正方形的三个顶点Ａ、B、Ｃ的距离分别为PA=１，ＰＢ=2，PC=3.求此正方形ABCＤ面积.（2）共旋转(典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形例题讲解：1。
已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点Ｄ不与B ，C 重合）,以AD 为边作菱形A ＤEF(按A,D,Ｅ,F 逆时针排列)，使∠ＤA Ｆ=60°，连接CF. （１） 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=ＣF+C Ｄ.(２）如图2,当点D 在边ＢC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF+CD 是否成立?若不成立,请写出A Ｃ、C Ｆ、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;(３)如图3，当点Ｄ在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出A Ｃ、CF 、CD 之间存在的数量关系.2．(13北京中考）在△ABC 中，AB=AC,∠BAC ＝α(︒<<︒600α），将线段BC 绕点Ｂ逆时针旋转60°得 到线段B Ｄ。
（1)如图1,直接写出∠AB Ｄ的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BC Ｅ＝1５0°，∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结ＤE,若∠D ＥＣ=45°，求α的值。
２.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：1。
在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M ，N ，使得45=︒∠MCN ，记ＡM=m ，ＭN=x,ＢN=n ， 求证以m ，x,n 为边长的三角形为直角三角形。
m xnBCAMN2。
如图，正方形AB ＣD 的边长为1,ＡB ，ＡＤ上各存在一点P 、ﻩQ ，若△A ＰQ 的周长为2， 求PCQ ∠的度数。
D ACBQ P3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,且45EAF =︒∠，AH EF ⊥,H 为 垂足,求证:AH AB =．4。
已知,正方形ABCD 中，∠ＭAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交ＣB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N,A Ｈ⊥MN 于点H 。
（1）如图①，当∠MAN 点A 旋转到ＢM=D Ｎ时,请你直接写出ＡＨ与AB 的数量关系:ＡH=ＡB ；（２）如图②,当∠ＭAN 绕点A 旋转到BM≠ＤN 时,（1）中发现的AH 与A Ｂ的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③，已知∠MA Ｎ=45°，A Ｈ⊥MN 于点H ，且ＭH=２，NH=3,求AH 的长．（可利用(2）得到的结论）知：正方形A 5。
已BC Ｄ中，∠M ＡN=45°，∠CHFED BAMAN绕点Ａ顺时针旋转，它的两边分别交CＢ，DC（或它们的延长线）于点Ｍ，Ｎ．当∠MＡN绕点Ａ旋转到BM=DN时（如图１）,易证BM+DN＝MN。
（1)当∠ＭAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2),线段BM，DＮ和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
（２)当∠MAＮ绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，ＤN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.6．(14房山２模）。
边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB边交DF于点M，BC边交DG于点N。
（1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中,当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？请(3)如图３，设MBN证明你的结论．7。
(２0１1石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 中，ＡＣ，ＢD 为对角线,将∠BAC 绕顶点A 逆时针旋转α°（0<α＜45）,旋转后角的两边分别交ＢD 于点P 、点Q ，交ＢC ，ＣD 于点E 、点Ｆ，连接EF,E Ｑ．（1）在∠BＡＣ的旋转过程中，∠AＥQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明); （2）探究△APＱ与△ＡＥF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．8．已知在ABC △中,90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上,CD DE 21=，点F 在线段AB 上,M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点．（1)如图1，若点E 在线段CD 上,请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：__＿____＿_＿＿,___＿___＿___;（2）在（１)的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时,求证:45=∠CNE ;(３）当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ，使得45=∠CNE 。
若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由。
AB EMDCBA９.（２014平谷一模２4）(1）如图１，点E 、Ｆ分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠E ＡF =45°，连接EF ，则ＥF 、B Ｅ、FD 之间的数量关系是：ＥF =B Ｅ+ＦD .连结B Ｄ，交AE 、AF 于点M 、Ｎ，且MN 、ＢM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系; (2)在△AB Ｃ中， AB ＝AC ，点Ｄ、Ｅ分别为BC 边上的两点。
①如图2,当∠BAC =60°，∠DAE =3０°时,ＢD 、DE 、EC 应满足的等量关系是②如图３,当∠ＢA Ｃ=α，（0°〈α＜9０°）,∠DA Ｅ=α21时，BD 、D Ｅ、ＥC 应满足的等量关系是＿＿___＿_____．【参考：1cos sin 22=+αα】注意：2222AM BM DM =+A B CD EF 图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN(１） 在正方形ＡBCD 中，ＡB =ＡD ，∠BAD ＝９0°,∠ABM =∠A ＤＮ=45°.NM FED CBA把△ＡBM 绕点A 逆时针旋转9０°得到M AD '∆． 连结M N '。
则，，AM AM BM M D ==''， ︒=∠='∠45ABM M AD ,BAM M DA ∠='∠．∵∠ＥAF =45°,∴∠BAM +∠DAN =４5°,∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆. ∴N M '=M Ｎ．在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , 222''DM DN N M +=∴222BM DN MN +=(２）① 222EC EC BD BD DE +⋅+=； ② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=α3.空翻模型例题：1．如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =。
过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠,120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =.２．如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线 交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =．在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =。
3．【探究发现】如图１,ABC ∆是等边三角形，60AEF ︒∠=，ＥF 交等边三角形外角平分线ＣF 所在的直线于点F ．当点E 是ＢC 的中点时，有AE =EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究ＡＥ、EF 的关系时,运用“从特殊到一般"的数学思想，通过验证得出如下结论:当点Ｅ是直线B Ｃ上(B ,C 除外）任意一点时(其它条件不变),结论ＡE =EＦ仍然成立。
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段B Ｃ上的任意一点"；“点E 是线段ＢC 延长线上的任意一点”;“ 点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明。
【拓展应用】当点E 在线段B Ｃ的延长线上时，若CE ＝ ＢC ，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出:ABC AEF S S ∆∆的值．4。
弦图模型外弦图 内弦图 总统图 例题:１。
两个全等的30°，60°三角板ＡＤE,ＢA Ｃ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线BBFAB上，连接B Ｄ,取ＢD 的 中点M ,连接ＭE,ＭC 。
(1)求证：△E ＤM ≌△CAM ；（２）求证：△E ＭC 为等腰直角三角形．2.如图△AB Ｃ中，已知∠Ａ=9０°，AB=ＡC,(１)D 为AC 中点,AE ⊥ＢＤ于E ，延长ＡE 交BC 于F ，求证：∠A ＤＢ=∠C ＤF(2)若D,M 为AC 上的三等分点,如图2，连ＢD ，过A 作AE ⊥BD 于点E ，交ＢC 于点F,连MF ，判断∠ADB 与∠C ＭＦ的大小关系并证明．3。