矢量A 与B 的叉积
A
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（5）矢量的混合运算 —— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
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本章内容
1.1 矢量代数
1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
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1.1 矢量代数
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
z
dz
dSz dxdy
dS y dxdz
dS y dxdz
dS z dxdy
x
o
dx d y dSx dydz
y
体积元
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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矢量在直角坐标系中表达及运算
A ex Ax ey Ay ez Az A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) A B Ax Bx Ay By Az Bz
邻边的平行四边形的对角线,如图所示。
B
A B
A
矢量的加法
在直角坐标系中两矢量的加法和减法： A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
Hale Waihona Puke 矢量的加减符合交换律和结合律
交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
写成行列式形式为 ex e y A B Ax Ay
ez Az Bz
A B
负交换率 A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
Bx
By
B

AB sin
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A 矢量的单位矢量： e A A A A A 矢量的大小或模： A eA A eA A 矢量的代数表示：
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量
矢量的几何表示
自由矢量
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矢量用坐标分量表示 模的计算 单位矢量
B B
A B
矢量的减法
A
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（2）标量乘矢量 kA ex kAx ey kAy ez kAz
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz 矢量 A与 B 的夹角 A B B A ——矢量的标积符合交换律 A B 0 A // B A B AB AB
A ex Ax ey Ay ez Az
A A Ax 2 Ay 2 Az 2
Ay Ax Az A eA ex ey ez | A| | A| | A| | A|
z
Az
Ax O
x


A

Ay
y
ex cos ey cos ez cos
r 的方向余弦
r ex x ey y ez z
z
cos x r cos y r cos z r
o e x z ez x
x
r r x2 y 2 z 2
位矢
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2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为
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1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 三维坐标系中一个坐标的等值曲面，称为该坐标的坐标曲面； 三维坐标系中两个坐标曲面的交集即为坐标曲线；三个坐标曲面 的交点确定三维空间点的坐标。
B
A
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
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（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
方向角与方向余弦
, ,
Ay Ax Az cos , cos , cos | A| | A| | A|
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位置矢量(矢径)
起点在坐标原点，终点在点 M的矢量 OM 为点M的位置矢量, 简称位矢： r 。
直角坐标的表达式：
y
y e y
r
*M
位矢 r 的大小(模)为
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
x x0 ; y y0 ; z z0
位置矢量
线元矢量 面积元
r ex x e y y ez z
dr ex dx ey dy ez dz
dS x dydz
x
x x0 （平面）
直角坐标系
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
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1. 直角坐标系
z z z0 （平面 ）
坐标单位矢量 ex , e y , ez
坐标曲面
坐标变量
x, y, z
坐标曲线上xyz增大方向 两两正交，满足右手螺 旋法则 均为常矢量
o
ez
ex