椭圆椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除公 长轴的两个端点.3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切.5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上，则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1.n b a b6.若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外，则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线a b 方程是年+臂=1.a h2 Q7.椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】，F2，点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻a b的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^・1 z 2228.椭圆冷+冷=1 <a>b>0)的焦半径公式：异b 2 I MF X 1= a +• J MF 2 1= a -(F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点，A 为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF 丄NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点，A|P 和A?Q 交丁点皿A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2h 2AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦，儿)为AB 的中点，则k aM ^k Ali =- — a ■方-a"即K 舶学。
a 几则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b椭圆一(会推导的经典结论)10. 11.12.若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a13. 若尸畑儿)在椭圆则过Po 的弦中点的轨迹方程是1.椭圆^7 + ^ = 1(a>b>o)的两个顶点为州(-4())，2(S O)，与y 轴平行的直线交椭圆于P|・a b'X 2 y 2P2时AjP|与A 2P 2交点的轨迹方程是飞- r = 1・/ b 22 22.过椭圆―+耳"(a>0, b>0)上任一点儿)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Ca bh 2x两点，则直线BC 有定向且匕厂―L(常数).3. 若P 为椭圆3+斗=| (a>b>0) h 异于长轴端点的任一点,F b F 2是焦点，ZPFF O =« ,a b 2_ZPF 2F { = /J ,则tan —e<7t —・a + c2 21 24.设椭圆±r + 2- = l (a>b>0)的两个焦点为Fi 、F 2?P (异于长轴端点)为椭圆上任恿一点，在s1n 6?cAPF1F2中，记上件尸尺=伉，乙PF\F&=卩，乙Ff2P = y ，则有——;————=一=宅.•*■sin ft + sin / a125. 若椭恻二+匚二1 (a>b>0)的左、右焦点分别为Fj. F 2,左那线为L,则肖0V 虫石-1时, a" h可在椭恻上求一点P ，使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.r v6.P 为椭圆〒沽I (5>。
)上任-点,閘为二焦点，A 为椭圆内-定点，则2a-\AF 1 1^1 P4I+I PFJV 2“ I A F } I ，当且仅当A.F^ P 三点共线时,等号成立.过椭圆^ + ^- = 1 (a Ab AO)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ?N 两点，弦MN 的垂直平 a b 分线交x 轴于p,则竺丄=£.\MN I 22+耳=1 ( a>b>0)4、B.是椭圆上的两点，线段AB 的垂肖平分线与x 轴相b交于点 p （®,o ）,则-・±»<*。
<二± aa7.8.椭圆忆字1+上申匸=1与直线Ax +^ + C = 0有公共点的充要条件是 a bA 2a 2 + H 2h 2 A (Ax 0 + By 。
+ C)lx 2y?已知椭圆—+ ^ = 1 (a>b>o ), o 为坐标原点，P 、Q 为桶圆上两动点，H OP 丄OQ ・(1) a bI1 1 1------ + -------- =——+ —\OP I 2 \OQ I 2 a 2 b 22 2;(2) IOPF+IOQF 的最人值为-^二；(3)片讥的最小值是a +b Ja + h9.2X10・已知椭R —a11・设P点是椭圆—• + 2r = l（ a>b>0）上异于长轴端点的任一点JVF2为其焦点记ZF/代二a丿Z? Y__.(2) G 十心巧•al)IPF1I1FF2l=12.设A、B是橢圆一+ -^-r = 1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，Z.PAB = a , a b2 乙PBA="上BPA = y , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有⑴I/M 1= "°'纠・(2)a" - co /, 2a2h2tana tan// = 1-^ ・(3) S^Ab = —----------- co"・b — a13-已如椭吟f " < Ab>0）的右准细与x轴相交于点E ‘过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A. B两点，点C在右准线/上，且PC丄x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作•椭圆的切线，与以K轴为直径的圆相交，则相应交点为相应焦点的连线必与切线垂扎15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点打焦点的连线必与焦半径互相垂直.16•:椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离•与以该焦点为端点的焦半径之比为常数c（离心率）.（注:在椭洌憊二角形中，菲焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点・）17•椭圆焦-:角形屮，内心将内点•与#焦顶点连线段分成定比e.1&椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.G_l ）_ +（〉=】）_ =1 （直线V = --X上方部分）5 5 32 3凡应卩］曲线系，爭半功倍利川曲线系解题，往往简捷明快，收到爭半功倍之效。
历以灵活运用曲线系是解析儿何中虫要的解题方法和技巧之一。
例6.求经过两圆空十#和/ + y2 +6y-28 = 0的交点，且圆心在血线 *^~^=<：上的圆的方程°3 3十则圆心为（---- ，在直线上1 + 兄1 +A二解得兄=丄7故所求的方程为七.巧用点耒，简捷易行在岡锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点井法，此法比具它方法更简捷•些.1例7・过点A （2, I）的直线与双曲线/ - —= 1相交于两点吟P"求线段PR中点的轨迹方程。
2解：设埒Cv 弓g，形），则设P】P2的中点为则••・丐场中点M的忱迹方程是云一^七、=<^解析儿何題怎么解乂U =二卫一，而R、As M、P2共线兀o —212 824 16 12 8化简整埋得点Q的轨迹方程为：解：设所求圆的方程为:<2>-<1> 得2x^x o "2高考解析儿何试题 般共有4题（2个选择题,1个坦空题，1个解答題），共计30分止右，考合的知识点约为20个左右.Ji:命题•般累扣课本，突出重点，金面考杳.选择题和填空题考杳直线，凤 圈锥曲线，参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答題車点考査圆供曲线中的束要知识盛 通过知识的虫俎与链接，使知识形成网络，若垂考仓胚线与圆傣曲线的位置关系, 求解有时还要用到半儿的基本知识，这点值得考生在复课时強化.例1已知点T 超半岡O 的自径AB 上 点，AB=2、OT=t （0<t<1）,以AB 为耳腰作自角梯形AA f B fB .使 垂直且等于AT,使BB 1垂直且等于BT, 交半圆于P. Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.⑴写出直线/2T 的方程；（2）計算LLJ 点P 、Q 的坐标；屮 y（3）证明：由点P 发;h 的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q讲解：通过读图，看;点的坐标.廿）显然上（1,1 一）B’（一 1,1 + 0 于是 臣线的方程为y = —lx +⑵由方程组(3) k PT =山起线PT 的斜率和自.线QT 的斜率互为相反数知，山点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q 需委注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗？X y例2己知自线I 与ffiR —+ ^r= Ka >h> 0）有且仅有•个交点Q 且少x 轴、y 轴分别交于R 、S,求以线段SR■ f w为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线！所处的位創设出百线/的方程，由已知，直线I 不过椭圆的四个顶点，所以设直线I 的方程为y = L^m （k^0）. 代入楠圆方程沪 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2.得 b 2x 2 u 2（k 2 x 2 + 2hnx m 2） = a 2b 2.化简后，得关于x 的一元-•次方程（a%? +沪）/ +2ka z mx +/胪-a 2b z = 0.于是其判别式 A = （2ka 2m ）2— 4（a zk 2+力'）（“ ‘加‘ - a '方'）=4A 2h 2 （a 2 fc 2 + ft 2 - m 2）. 由已知，得△=（）•即初$疋2十沪=机2 ①在直线方程 y = kx + m 中，分别令 y=0, x=0,求—,0）, S （0,?K ）.令顶点P 的坐标为（x, y ）, rh 己知，得代入①式并整理，得《+厶“，即为所求顶点P 的轨迹方程. 工）2方程竺+ = 1形似椭囲的标准方程，你能画出它的图形吗？即为所求顶点P 的轨迹方程.(-11)解出"(0,1八);X2 y12\/3 V3 例3已知取曲线一厂- = 1的离心率w = ----------- ,过/4（a,O）, «（（）,-/?）的百线到原点的即•离足——/沪 3 2 （.1）求发曲线的方程;（2）已知百线，=处+ 5仏工（））交双曲线于不同的点C, D且C, D都在以B为岡心的岡卜•，求k的伯.讲解：•••（1）三=2 J3 .原点到自线AB： ±_Z = i的曲离a 3 a huh■\! J + J ・•・ b = a = %/^・故所求双曲线方程为y〈2）把》=kx + 5代入_ 3〉,2 = 3 中消公* 整理得（1 一3&2）/ 一30kv - 78 = 0 ・设C(“儿XD(x2,y2),CD 的中点足E(x0>y0),则HEx a15 k 5k’ 2 一・・.Ya + ky. 4- k = 0, H|J ---------- -- H ---------------- -- + 在= O, 乂A: O,/. k = 7" 1 - 3A; 2 1 一3花2故所求k= ±\i 7・为了求出R的值，需要通过消元，想法设法建枸《的方程.例4己知椭圜C的中心在原点，焦点冃、屉在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且ZFiPFe的最大侑为90° ,宜线I过左焦点R与椭圆交于A、B两点，AABF2的而积星大值为12・<1）求楠岡C的离心率：（2）求椭岡C的方程・讲解：（1）设IPFJ= jIP© l=0l片笃对人〃\役，山余弦定埋，得山丈匕_］十宀°, 八+ G a2（—）（2）考虑百线/的斜率的存在性，可分两种怙况:i）M1k存在时，设I的方程为y = k（x +c）椭圆方程为弓+ £ =—（知儿）』（“儿）山-返・得/ 2 2c\h Z^c Z于是楠圆方程可转化为/ + 2卡一2/=0将①｛弋入②，消去》得x2 + 2k\x^c）2 -2c3 = 0,整理为X的一元一次方程，得（I + 2“）/+ 4<*3 + 2^占-° = o・则*、X2是上述方程的两根.且妊, |?1S |=v'77Fl^ ■龙1+2厂31+21也可这样求解：AB边卜.的|岛）=| F F“ Isin ZBF,F、= 2cx—=THT7由①®知S的最大值为忌2由題意得近/ =12所以/ = 6込=b， a1 = 12逅故M1AABF2面积用大时椭鬪的方程为：丄,寸】下面给出本遞的另一解法，请读者比较二者的优劣；设过左焦点的百线方程为：x = zny - c .................. ①(这样设起线方程的好处是什么？还请读者逬一步反思反思・) 椭圆的方程为：-i T4-2_ = L4(x1>y1). fi(x2>y2)a b°由一亞•得: 宀2八宀八于是椭圆方程可化为: 宀2八2八0••••・•②2把①R入②并松埋得：曲-2)八-2呻-/ = 0于是儿*2是上述方程的两根.I AB 1= J(“-卞严+ (儿一儿)2 = J1 + '/ I儿_儿丨=后亍f ・乜.2逅曲卜<),m1 + 2 m X + 2山题总知爲工=12 ,于是b2 = C2 =6^2. a2 =12^2 •故出△ ABF?而积最大时楠圆的方程为：2 2X 亠$ 12 2例5已知百线y =—兀+ 1打椭^1 —+^-= \(a >b> 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在言线/:x-2v = (>±. (. 1 )求此桶圆的肉心率;(2 )若椭圆的右焦点关于自线/的对祢点的在圆厂+ ,y2 =4 h,求此椭岡的方程.ii)当k石存在时, 把冃线x = —c代入桶圆方程得y二士—cl 1= yflc、S = -y/lc x 5/2*6**2AB边上的高〃冷_为且仅出m=0取等号，即S® =72C2.讲解：<D设A、B两点的坐标分别为列比，儿),3(也」2)・则由 / / 得(a2 + 沪)尢~ — 2a2 x + a" — a^b1 = 0,根据韦达定理，得-V, +X2 = --2"-「儿 + 儿=-(X, + XJ) + 2 = -2fe7 a + b " +•••线段AB的中点坐标为( 一 ./ 2 )・a * +b a + ba x2b 水由已知得一一——=0./. a2 = 2ba" + a J + b °故椭岡的离心率为忆= (2)由(1〉知b = s从而椭圆的右條点坐标为戸@,0),设卩(60)关于直线/:*一2丁 =()的对称点为y- 0 1 才介+ b v.. 3 4g从则二•厂“且丁-^寸“解得^=-^=7,由已知得+ >^ =4..*. (-&)2+(-&)2 =4,/. Z>2 =4,故所求的椭岡方程为—+ —= 1 . 0 0 5 5 8 4程.已知OM： .r2 + (>•- 2)2 = 1,Q是兀轴卜•的动点，QA, QB分别切于A, B两点, (1)如果I佔1= —｝求也统MQ的方程；(2)求动枝AB的中点P的轨迹方3讲解：(1)山丨A* l= 土空,可得3IMP 1= JlMA I? -=¥'由射影定I MB I2 =l MP I • I MQ I,得I MQ l= 3,在RtAMOQ 中,I OQ l= Jl MQ \2 -\ MO \所以自线AB方程是2x + ^5y一2\5 =()或2工一斥y + 2J? = 0;2 v - 2 <2)连按MB, MQ,设P(x」)Q(s()),山点P, Q在一氏线上，得——= ——,(*)-a x山射影定理得I MB I2=l MP I ・l A/Q I,即+ (y _2)2 ・、// + 4=―杠)把（J及（"〉消去a,并注愆到y < 2,可得x2 + （y--）2 = 4适时应用平面几何知谋，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.V2例7 如图，在RtAABC 中，ZCBA=90° , AB=2, AC=——。