第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力定律及其应用
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[考纲解读]
1．掌握开普勒定律的基本内容、公式及应用． 2.理解万有引 力及万有引力定律的公式． 3.会利用万有引力定律估算天体 质量或密度．
(3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢 量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力 较小，常认为万有引力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
2．星球上空的重力加速度 g′ 星球上空距离星体中心 r＝R＋h 处的重力加速度为 g′，mg′ ＝RG＋mMh2，得 g′＝RG＋Mh2.所以gg′＝R＋R2h2.
解析：同步轨道半径大约是中轨道半径的 1.5 倍，根据开普勒 第三定律Tr32＝k，得TT同 中22＝(32)3，即同步卫星与中轨道卫星的周期
之比约为 答案：C
故选项 C 正确．
核心要点突破
1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果： 一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向 心力 F 向，如图所示． (1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2.
解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地运行的轨道 分别为 r 卫、r 同和 r 月，因 r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律Tr32＝ k 可知，T 月＞T 同＞T 卫，又同步卫星的周期 T 同＝T 地，故有 T 月 ＞T 地＞T 卫，选项 A、C 正确． 答案：AC
3．[开普勒第三定律的应用] (2018·河南开封质检)北斗卫星导 航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由 35 颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和 倾斜轨道．其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的 1.5 倍， 那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )
2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系 中结果不同． 3．经典力学的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界， 不适用于微观世界．
■ 思维判断 (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．( √ ) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速 率越大．( × ) (3)只有天体之间才存在万有引力．( × ) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝Gmr1m2 2计算物体间的万有引力．( × ) (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心( √ ) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( × )
M＝gGR2
备注 只能得 到中心 天体的
质量
－
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
利用近
密 利用运行 r、T、 GMr2m＝mr4Tπ22 ,ρ＝G3Tπ2rR3 3 地卫星
当 r＝R 时 只需测
度 天体 的
R
M＝ρ·43πR3 ρ＝G3Tπ2
出其运
行周期
计
利用天体 算
表面重力 加速度
g、R
mg＝GRM2m M＝ρ·43πR3
题组突破训练
1．[估算天体质量] “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫
星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行
周期为 127 分钟．已知引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月
球半径约为 1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为
() A．8.1×1010 kg
解析：地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选 项 A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成 120° 角，间距为 3r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为G3mr22， 选项 C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项 D 错误． 答案：BC
2．[重力加速度的计算] 科幻大片《星际穿越》是基于知名理 论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而 成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用 数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实 的黑洞模样．若某黑洞的半径 R 约为 45 km，质量 M 和半径 R 的关系满足MR ＝2cG2 (其中 c＝3×108 m/s，G 为引力常量)，则该 黑洞表面的重力加速度大约为( ) A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
解析：开普勒在第谷观测数据的基础上，总结出了行星运动的 规律，B 项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上 发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D 项错． 答案：B
2．(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法 可行的是( ) A．使物体的质量各减小一半，距离不变 B．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变 C．使两物体间的距离增为原来的 2 倍，质量不变 D．使两物体间的距离和质量都减为原来的14
B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg
D．7.4×1022 kg
解析：对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周 运动的向心力，则 GRM＋mh2＝m4Tπ22(R＋h)，整理得：M＝G4πT22(R ＋h)3，代入数据可得 M≈7.4×1022 kg，则 D 正确． 答案：D
解析：根据 F＝GMRm2 可知，距离和质量都减为原来的14时，万 有引力不变，D 错误，A、B、C 正确． 答案：ABC
3．海王星有 13 颗已知的天然卫星．现认为“海卫二”绕海王
星沿圆轨道匀速运转，已知“海卫二”的质量为 2.0×1019 kg，
轨道半径为 5.5×106 km，运行的周期为 360 天，引力常量 G
Tr32＝k，k 是一个与 行星无关的常量
二、万有引力定律 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线 上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成 正比，与它们 之间距离 r 的二次方成 反比． 2．表达式 F＝Gmr1m2 2，G 为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
解析：太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的 行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误； 只有同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同， D 错误；由开普勒第三定律知，Tr火火32＝Tr木木32，故TT火木22＝rr火 木33，C 正确． 答案：C
2.[开普勒第三定律的应用] (多选)如图所 示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道 可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分 别为 T 卫、T 月，地球自转周期为 T 地，则( ) A．T 卫＜T 月 B．T 卫＞T 月 C．T 卫＜T 地 D．T 卫＝T 地
ρ＝4π3GgR
－
[典例] (多选)公元 2100 年，航天员准备登陆木星，为了更准 确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达 与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经 过时间 t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时 间间隔是 T，测得航天员所在航天器的速度为 v，已知引力常 量 G，激际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等 于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为
g，对黑洞表面的某一质量为 m 的物体，有GRM2m＝mg，又有MR ＝2cG2 ，联立解得 g＝2cR2 ，代入数据得重力加速度约为 1012 m/s2， 故选项 C 正确． 答案：C
核心要点突破
题组突破训练
1．[万有引力定律的应用] (多选)如图所示，三颗质星均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质 量为 M，半径为 R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为Gr－MRm2 B．一颗卫星对地球的引力大小为GMr2 m C．两颗卫星之间的引力大小为G3mr22 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GrM2 m
[答案] AD
[易错警示] 估算天体质量和密度的 4 点注意 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量 时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量． (2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的 卫星，才有 r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3 中的“R”只能是 中心天体的半径． (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为 24 h， 公转周期为 365 天等． (4)注意黄金代换式 GM＝gR2 的应用．
A．木星的质量 M＝2vπ3TG B．木星的质量 M＝π2G2cT3t23 C．木星的质量 M＝4πG2Tc32t3 D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
[解析] 航天器的轨道半径 r＝v2πT，木星的半径 R＝v2Tπ－c2t，木 星的质量 M＝4GπT2r23＝2vπ3TG；知道木星的质量和半径，可以求出 木星的密度，故 A、D 正确，B、C 错误．
2．[天体密度的估算] 假设地球可视为质量均匀分布的球
体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道 的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度
为( )
A.3πGgT02－g0g
B.GT23πgg0－0 g
3π C.GT2
D.G3πTg2g0
解析：物体在地球的两极时，mg0＝GMRm2 ，物体在赤道上时，
＝6.67×10－11 N·m2/kg2.则海王星的质量大约为( )
中心天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量
利用公式
质 利用运 量 行天体 的 计 算 利用天体
表面重力 加速度
r、T r、v v、T
g、R
GMr2m＝mr4Tπ22 GMr2m＝mvr2 GMr2m＝mvr2 GMr2m＝mr4Tπ22