2020高中数学第6章不等式、推理与证明5《归纳与类比》复习学案【要点梳理·夯实知识基础】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理.合理推理的过程：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理从已知事实和正确的原理出发，推出某个新的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到一般的推理．(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：S是P.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()(5)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，其大前提错误，其结论也是错误的．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√[小题查验]1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错解析：A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的．]2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：D[由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：B[只有③正确．]4．(教材改编)已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，归纳该数列的通项公式a n＝________.答案：1 n5．(文科)观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为________.解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1165．(理科)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝ ________ .解析：依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.答案：x(2n －1)x ＋2n【考点探究·突破重点难点】考点一 归纳推理(多维探究)[命题角度1] 数式的归纳 1．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________ .解析：观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.答案：4n (n ＋1)32．已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2 014(x )的表达式为 ________ .解析：由f1(x)＝x1＋x⇒f2(x)＝f⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝x1＋2 014x.答案：f2 014(x)＝x1＋2 014x[命题角度2]图表的归纳3．观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________.解析：∵5＋6－9＝2；6＋6－10＝2；6＋8－12＝2，归纳：F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝24．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 678910……根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________.解析：前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝n(n－1)2个，即n2－n2个，因此第n行从左至右的第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.答案：n 2－n ＋62(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．考点二 类比推理(自主练透)[题组集训]1．在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝ ________ .解析：设S ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 21°，两式倒序相加，得2S ＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 289°＋sin 21°)＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°) ＝89， 所以S ＝44.5. 答案：44.52．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论．已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2等于( )A.18B.19C.164D.127解析：D [如图1，正三角形的内切圆与外接圆为同心圆，其半径分别为r 1，r 2，且r 1∶r 2＝1∶2，所以S 1S 2＝r 21r 22＝14.类比此性质知正四面体P -ABC 的内切球与外接球为同心球，其球半径分别为r 、R .则V 1V 2＝r 3R 3.如图2所示，正四面体P －ABC 中，过点P 作PE ⊥平面ABC ，则E 为底面正三角形ABC 的中心，球心在PE 上，设为O ，于是OA ＝OP ＝R ，OE ＝r ，设正四面体棱长为a ，则AE ＝33a ，PE ＝63a .Rt △AOE 中有R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2.解得R ＝64a ，所以r ＝63a －64a ＝612a ，V 1V 2＝r 3R 3＝127.故选D.]3．已知△ABC 的顶点A ，B 分别是离心率为e 的圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1的焦点，顶点C 在该曲线上；一同学已正确地推得：当m ＞n ＞0时有e (sin A ＋sin B )＝sin C ．类似地，当m ＞0，n ＜0时，有 ________ .解析：当m ＞n ＞0时，x 2m ＋y 2n ＝1为椭圆，|AC |＋|BC |＝2m ，由正弦定理知，|AC |sin B ＝|BC |sin A ＝|AB |sin C ⇒|AC |＋|BC |sin B ＋sin A ＝|AB |sin C ⇒2m sin A ＋sin B ＝2c sin C ⇒e ＝cm ＝sin Csin A ＋sin B⇒e (sin A ＋sin B )＝sin C .当m ＞0，n ＜0时，x 2m ＋y 2n ＝1为双曲线，||AC |－|BC ||＝2m ， 由正弦定理知，|AC |sin B ＝|BC |sin A ＝|AB |sin C ⇒||AC |－|BC |||sin B －sin A |＝|AB |sin C⇒2m |sin A －sin B |＝2c sin C ⇒e ＝c m ＝sin C |sin A －sin B | ⇒e |sin A －sin B |＝sin C . 答案：e |sin A －sin B |＝sin C(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为 ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．考点三 演绎推理(师生共研) 逻辑推理——演绎推理中的核心素养演绎推理是指从一般原理出发，依据一定的逻辑规则，推出命题的思维过程，是从一般到特殊的推理， 其最常见的推理形式是三段论．[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)(1)演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的理论依据其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.[跟踪训练]已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．。