3
三、矢量的减法
1.矢量减法的平行四边形法则
∵c = a + b
∴b = c - a = c + ( - a) 可见求 c与 a的差即求 c与（ - a）的和，可以按平行四边形法则或三角形法则计算——即矢量
的减法实质上仍是矢量的加法，矢量的加、减法统称为矢量的合成
.
2.矢量减法的三角形法则 两矢量相减， 要将它们移到一个共同的起点， 引的矢量即为所求之差。如：
2. 图象及特点 在平面直角坐标系中，函数 y = ax 2 + bx + c 的图象是一条二
次曲线即抛物线。它的顶点是（
-
b 2a
,
4ac 4a
b
2
)
。对称轴是
x= -
2ba。
且x = - b 把函数 y = ax 2 + bx + c的定义域分成两个单调区间。当
2a
a > 0 时抛物线的开口向上，在
然后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所
可见： a减 b 指向 a;b 减a指向 b
小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分矢量（减法）
，从数学角度来说就是求解
三角形的边和角的问题 ,因此一切解算三角形的数学方法均可使用。
如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、相似三角形、全等三角形、菱形特性等 都可以使用。注意：
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
a
b
c
sin α = sin β = sin γ = 2k(k 为△ ABC外接圆半径 )
2. 余弦定理 在任意一个三角形中，任意一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹
角的余弦之积的两倍。 a2 = b2 + c2 - 2bc cos α b 2 = c2 + a2 - 2ac cos β c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos γ
率越小。
4. 纵、横截距的定义 横截距是直线与 x 轴交点横坐标，只需令 y=0 求出 x 值，即为横截距；纵截距是直线与
y 轴交点纵坐标，只需令 x=0 求出 y 值，即为纵截距。 二、二次函数
1. 二次函数的表达式 y = ax 2 + bx + c ，其中 a、 b、c 是常数且 a ≠0 .
线段长度——矢量大小
箭头指向——矢量的方向
F=5N ，方向为水平向右 3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同。与起点无关
4.矢量可以平移
AB = CD
5. 负矢量——两矢量等大反向互称为负矢量
a= - b或b = - a
二. 矢量的加法
1.平行四边形法则： 两矢量 a与 b 的和是以这两个矢量为两边的平行四边形的对角线矢量，
3.矢量加法的多边形法则
依次作出各个矢量， 其中后一个矢量的起点正好是前一个矢量的终点，
那么从第一个矢
量的起点到最后一个矢量的终点所引的矢量，即它们的矢量和
.此时所有的分矢量与合矢量
围成一个多边形 . 所以称为矢量加法的多边形法则。
注：①三力平衡时，构成一个封闭的三角形——三力平衡力三角形自行封闭
②在共点力的作用下， 物体处于平衡状态时， 合力为零， 构成一个封闭的多边形——多力平 衡力多边形自行封闭 .
也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。
如：∵ a=5 b=-3
∴ c=a+b=5-3=2 当然也可用平行四边形法则：
x 方向与正方向同
c = a2 + b2 + 2ab cos θ= a2 + b 2 + 2ab cos 180 ° = a2 + b 2 - 2ab = (a - b) 2 = a - b = 5 - 3 = 2
§2. 矢量及其运算 一、矢量的概念
1.矢量的定义 —— 既有大小又有方向的量叫做矢量（向量）
记号： F a v b AB 大小（模） ： F a v b AB
标量：仅有大小的量叫做标量。如：质量 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度
m 、时间 t、 路程 s、动能 Ek 、势能 Ep 等。 t。
2. 矢量的图形表示：带有箭头的线段
w = F ?S = FS cos θ
2. 两矢量的叉积（矢量积）
定义：两个矢量 a和 b 的叉积定义为另一个矢量 c
即： c = a ×b 它的数值是 c = absin θ θ—— a与 b 之间的夹角
c矢量的方向垂直于 a，垂直 b 于即垂直于 a和 b 所决定的平面。 c矢量的方
向用右手螺旋法则（右手抓法）判定：伸开右手让右手四指从
5
五、在同一直线上的矢量的运算
在同一直线上的矢量其方向仅有两个 , 因此可以用正、负两个符号表示两个方向，具体做法
是：沿着矢量所在的直线选定一个正方向 , 即建立一维坐标系 （直线坐标系） . 凡方向与正方
向相同的矢量取正值， 凡方向与正方向相反的矢量取负值。 这样用一个带有正、 负号的数值
把矢量的大小和方向都表示出来， 从而将同一直线上的矢量运算转化为代数运算， 实际上这
①. 已知合矢量 F 的大小和方向与另一个分矢量 F1的方向，则另一个分矢量 F2 与 F1相互垂直 时F2 有极小值且 F2min = F sin θ（ 0 < ??< 90 °）。
②. 已知一个分矢量 F1 的大小和方向与合矢量 F 的方向，则另一个分矢量 垂直时有极小值即： F2min = F1 sin θ（ 0 < ??< 90 °）。 四、矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法）
所以： c = a2 + b 2 + 2abcos θ
—— c 矢量的大小
规定： c矢量的方向是 : c与任一分矢量之间的夹角。
tg φ=
b sin θ a+b cos θ
矢量的定义 : 既有大小又有方向 ,加法运算时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。 2.矢量加法的三角形法则
两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢量的终点，然后连结一矢量的始点和另 一矢量的终点， 即为两矢量的和。 由于三个矢量构成一个三角形， 所以称为矢量加法的三角 形法则。应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分矢量。 即：三角形的任一边可大于、等于、小于其它任一边。
1.正交分解：一个矢量 a对应一个平行四边形的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边
形，而一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢量，
在这无数对分矢量中必然包括
一对相互垂直的分矢量。
将一个矢量在选定的直角坐标系中， 图所示：
沿两个坐标轴os α ay = a sin α
x=-
b 处有极小值
2a
y min
=
4ac
-
b
2
；
4a
b
4ac - b2
当a < 0时抛物线的开口向下，
在x =
-
处有极大值
2a
ymax
=
.
4a
三、三角函数
1. 直角三角形中锐角三角函数的定义
设∠Ａ= α
则sin α= y
r
y
tan α= x
x cosα=
r
x cot α=
y
2. 同一个角的三角函数之间的关系 ① 平方和的关系： sin 2 α+ cos 2 α= 1
ax— — a在 x 轴上的分量（可正、可负）
ay — — a在 y 轴上的分量（可正、可负）
4
矢量 a的方向 tg α= ay —— α是矢量 a 与 x 轴正向夹角
ax
矢量 a的大小： a =
ax2
+
a
2 y
注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐标系中的分量唯一确定 量在直角坐标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方向。 2. 正交合成
a的方向
经小于 180°角，抓向 b，则大拇指伸直的方向即 c的方向。
6
记
为c： c = a + b ——矢量加法的表示式
通常将这种用平行四边形的对角线来求出两矢量和的方法叫——矢量加法的平行四边形法
则.
2
c— — 称为 a、 b的合矢量 a、b 称为 c的两个分矢量 据余弦定理： c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos 180 °- θ
= a2 + b 2 + 2ab cosθ
或∵ a=-5 b=3
∴ c=a+b=-5+3=-2
x
C 矢量大小为 2，方向与规定正方向相反
六、两矢量的乘法
1. 两矢量的点积（数量积）
定义：两个矢量 a和 b 的乘积定义为： c = a ?b = ab cos θ θ——两矢量之间的夹角
注：由于这种矢量的乘法是在 a和 b之间放上一点来表示的， 因此称为点积。 由于这种乘积的 实际定义是 ab cos θ，这是一个数量（标量） ，因此又称为数量积。 如：物体向右运动求力 F 做的功 W=？
②
比值关系：
sin α
cos α=
tan α
cos α
sin α =
cot α
③ 倒数关系： tan α= 1
cot α
3. 互为余角的两个角的三角函数
① sin α= cos?(90 °- α)
φ = 90°- α
② cosα= sin ?(90 °- α)
1
④ tan α= cot ?(90 °- α) ⑤ cot α= tan ?(90 °- α) 四、正弦定理和余弦定理 1. 正弦定理
F2 与合矢量 F 相互
矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法则
,均为矢量合成的几何法，用几何法处