圆周运动1．物体做匀速圆周运动的条件：匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。

2．描述圆周运动的运动学物理量（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。

它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。

如：Trr v πω2=⋅=，22224T r r r v a πω===。

要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为nT 60=。

（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：ωωv r r v a ===22，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。

只适用于匀速圆周运动的公式有：224Tra π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。

例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。

b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。

c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。

若在传动过程中，皮带不打滑。

则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 练习1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。

假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。

2．图示为某一皮带传动装置。

主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。

已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打图3－14r2r rra b c d 图3－4滑。

下列说法正确的是（ ）。

A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动 C ．从动轮的转速为21r r nD ．从动轮的转速为12r r n 3．(92)图3-7中圆弧轨道AB 是在竖直平面内的1/4圆周，在B 点，轨道的切线是水平的。

一质点自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为______，刚滑过B 点时的加速度大小为_____。

3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。

向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。

例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。

做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：22224Tr m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。

（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。

（4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形受力分析利用向心力公式2tan sin mg m l θωθ=图3-7AB2tan (sin )mg m l d θωθ=+2tan mg m r θω=2tan mg m r θω=2Mg m r ω=例题2.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为m ，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。

练习4. 如图3—12所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R ，在转台边缘放一物块A ，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。

若在物块A 与转轴中心O 连线中点再放一与A 完全相同的物块B （A 、B 均可视为质点），并用细线相连接。

当转动角速度ω为多大时，两物块将开始滑动？图3-12OB A5．（08广东）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。

当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。

6．(97)质量为m 、电量为q 的质点，在静电力作用下以恒定速率v 沿圆弧从A 点运动到B 点，其速度方向改变的角度为 θ(弧度)，AB 弧长为s 则A ，B 两点间的电势差U A -U B =_____________，AB 弧中点的场强大小E ＝________________。

4．竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。

如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即Rv m mg 2=，则有临界速度gR v =。

只有当gR v ≥时，小球才能通过最高点。

如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。

这样gR v =就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当v <gR 时，小球受向上的弹力；当gR v =时，球和杆之间无相互作用力；当v >gR 时，球受向下的弹力。

可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。

例题3.（99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a 处为拉力，b 处为推力 C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a 处为推力，b 处为推力图4-4 图3-8图3-7练习7.如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。

一光滑小球从开口A 处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。

则下述说法正确的是（ ） A.球在最高点时对管的作用力为零 B.小球在最高点时对管的作用力为mgC.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大8. 如图3－13所示，半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A 。

今给它一个水平初速度gR v 0，则物体将（ ）A.沿球面下滑至M 点B.沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动C.立即离开半球面做平抛运动D.以上说法都不正确5．有关圆周运动问题的分析思路圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。

解决有关圆周运动问题的思路是：ⅰ．确定研究对象；ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ⅲ．对研究对象进行受力分析；ⅳ．在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解；ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程；若过程中涉及能量问题一般还要列出动能定理或机械能守恒方程，然后再解方程，并讨论解的合理性。

例4．（09广东）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。

内壁上有一质量为m 的小物块。

求①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

图3-14图3-13例5．（07山东卷）(16分)如图所示,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量m =1.0kg 的小滑块。

当圆盘转动的角速度达到某一数值时,滑块从圆盘边缘滑落,经光滑的过渡圆管进入轨道ABC 。

已知AB 段斜面倾角为53°，BC 段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的摩擦因数均为μ=0.5。

A 点离B 点所在水平面的高度h =1.2m 。

滑块在运动过程中始终末脱离轨道，不计在过渡圆管处和B 点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g =10m/s 2，sin37°=0.6,cos37°=0.8。

(1)若圆盘半径R =0.2m ，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落?(2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B 点时的机械能。

(3)从滑块到达B 点时起．经0．6s 正好通过C 点，求BC 之间的距离。

练习9．（09安徽）（20分）过山车是游乐场中常见的设施。

下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径R 1=2.0m 、R 2=1.4m 。

一个质量为m =1.0kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以v 0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距L 1=6.0m 。

小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.20，圆形轨道是光滑的。

假设水平轨道足够长，圆形图图10O轨道间不相互重叠。

重力加速度取g =10m/s 2，计算结果保留小数点后一位数字。

试求 （1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小； （2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R 3应满足的条件；小球最终停留点与起点A 的距离。

10. （06重庆）(20分)(请在答题卡上作答)如题25图，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。

小球A 、B 质量分别为m 、βm (β为待定系数)。

A 球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为R 41，R 1 R 2 R 3 A BCDv 0第一圈轨道第二圈轨道第三圈轨道LLL 1碰撞中无机械能损失。

重力加速度为g 。

试求： (1)待定系数β;(2)第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速度和B 球对轨道的压力;(3)小球A 、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A 、B 在轨道最低处第n 次碰撞刚结束时各自的速度。