安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握换元积分法
教 学 基 本 内 容
1.定理：（第一换元积分法）设 有原函数 ，且 是可导函数，则 ，该公式称为第一换元公式．
2.几种常用的凑微分求解的积分形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
3.若 是 在区间 上的一个原函数，即 = ，则 也是 在区间 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.
4.定理：设函数 是 在区间 上的一个原函数，那么 在区间 上的任意一个原函数可以表示为 ，其中 是任意常数．
二．不定积分的概念
定义：如果 是 在区间 上的一个原函数，则 在区间 上带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的不定积分，记作 ，即 = ，其中， 称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量，任意常数 称为积分常数．
高等数学教学教案
第4章不定积分
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第1节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数与不定积分的概念
教学难点
原函数的概念
参考教材
同济七版《高等数学》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8求 ．
例9.建立递推公式 .
授课序号04
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第4节有理函数的积分
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
例15.求
例16.设 ，且 ，求 .
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第2节换元积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
第一换元积分法与第二换元积分法
教学难点
第二换元积分法
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
2．分部积分法应用的基本步骤可归纳为： = ．
3．分部积分法的关键是合理选取 与 ，一般来说有下列结论：
（1）形如 ，取 ， ．
（2）形如 或 ，取 ， 或 ．
（3）形如 ，取 ， ．
（4）形如 ， ， 或 ，取 为反三角函数， ．
（5）形如 ， ，取 或 ， ；也可以取 ， 或 ．
二．例题讲解
例1.求 .
教学难点
有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
教 学 基 本 内 容
一．有理函数的积分
1.有理函数的相关概念
三．不定积分的几何意义
对于确定的常数 ， 表示坐标平面上一条确定的曲线；当 取不同的值时， 表示一簇曲线．由 可知， 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．
四．不定积分的性质
性质1.(1) = ，或 = ；
(2) ，或 .
性质2. （ 为非零ห้องสมุดไป่ตู้数）.
例16．求 ．
例17．求 ．
例18．求 ．
例19．求 ．
例20．求 ．
例21．求 .
例22．求 .
四．基本积分公式表
14. ；
15. ；
16. ；
17. ；
18. ；
19. ；
20. ；
21. ;
22. .
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第4章第3节分部积分法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
（11）
（12）
二．第二换元积分法
1.定理：（第二换元积分法）设 是单调的可导函数，且 ，又设 的一个原函数为 ，则 = ,该公式称为第二换元公式．
2.常用的第二换元积分法：
（1）含有根式 时，令 ；
（2）同时含有根式 和根式 （ ）时，令 ，其中 是 的最小公倍数；
（3）含有根式 时，令 ；
（4）含有根式 时，令 ；
性质3. .
五．基本积分公式表
1． （ 为常数）；2． （ ）；
3． ；4． ；
5． ；6． ；
7． ；8． ；
9． ；10． ；
11． ；12． ；
13． .
六．例题讲解
例1.求不定积分 (1) ；（2） ．
例2.若池塘结冰的速度由 给出，其中 是自结冰起到时刻 冰的厚度， 是正常数，求结冰厚度 关于时间 的函数．
（1）两个多项式函数的商 称为有理函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质
教 学 基 本 内 容
1.定义：设 是定义在区间 上的函数，若对任意的 ，都有 ，或 ，则称 是 在区间 上的一个原函数．
2.定理：（原函数存在定理）若函数 在区间 上连续，则在该区间上一定存在可导函数 ，使得对任意 都有 ，即区间上的连续函数一定有原函数．
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
教学难点
参考教材
同济七版《高等数学》上册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握分部积分法
教 学 基 本 内 容
一．分部积分法
1．定理：设 在区间 上都有连续的导数，则有 ，简记为 ，或 ，称为分部积分公式．
例3.已知某曲线经过点 ，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．
例4.距离地面 处，一质点以初速度 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．
例5.求 ．
例6.求 ．
例7.求 ．
例8.求 ．
例9.求 ．
例10.求 ．
例11.求 .
例12.求 ．
例13.求 ．
例14.求 ．
（5）含有根式 时，令 ；
（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.
三．例题讲解
例1.求 ．
例2.求 ．
例3.求 ．
例4.求 ．
例5.求 ， ．
例6.求 ．
例7.求 ， ．
例8.求 ， ．
例9.求 ， ．
例10.求 ．
例11.求 ．
例12.求 ．
例13.求 ．
例14.求 .
例15．求（1） ； （2） ．