23∞ «复变函数与积分变换»期末试题（A）1．1 -i一．填空题（每小题3 分，共计15 分）的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；二．选择题（每小题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ； （D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则⎰C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.（A）z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ⎰C f (z )dz = 0（C ） 如果 ⎰C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析；（D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为 的孤立奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ⎰Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算⎰ 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3（4） 函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3 (z - 3)2(sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分⎩ 数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅角是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =1）；3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（ 一级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；二．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件∂u = ∂v∂x ∂y ∂u = -∂v∂y ∂x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

z （2）．计算 ⎰C(z - 1)2zd z 其中 C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 f (z ) = e z(z - 1)2 z在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2= 1 ，分别以z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内z⎰C (z - 1)2 z d z = ⎰C e z (z - 1)2 zd z + ⎰Ce z z 2 (z - 1)2d z1zz →0 z z ⎰ = 2i ( e z ' + 2i e )z z =1(z -1)2 z =0= 2i无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3． ⎰ 15z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3 d z解：设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在： z < 3 内，由留数定理15⎰z =3 (1 + z 2 ) 2 (2 + z 4 )3 d z = -2i Re s [ f (z ), ∞]-----（ 5 分） = 2 1 1 ]----（8 分） i Re s [ f ( 1 z ) z 21 1 ( )15 1 f ( ) = zz z 21 1 (1+ 1 )2 (2 + ( 1)4 z 2 z1 )3 z2 f ( ) = 有唯一的孤立奇点z = 0, z z 2 z (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)31 1 1 1 1 Re s [ f ( ) z2 ,0] = lim zf ( ) z →0z 2 = lim (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3 = 1∴ z 15 z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3d z = 2i --------（10 分）（4）函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3(sin z )32(z - 3) 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：z (z 2 - 1)(z + 2)3 (z - 3)2f (z ) = (sin z )3的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ，∞（1）z k , k 0 1 2 3, 为（sin z ）3 0的三级零点，（2） z0，z 1,为f (z 的二级极点， z 2是f (z 的可去奇点，（3） z = 3为f (z )的一级极点（4）z = 2,-3,±4 ，为f (z )的三级极点 （5）为f (z 的非孤立奇点。

zzn =0∞⎩ ∞ 备注：给出全部奇点给 5 分 ，其他酌情给分。

四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级数；（1） 0 <z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞解：（1）当0 <f (z ) = z - 1 < 11 z 2(z - 1) 1= - 1 (z -1) ∞[ 1 ]' (z - 1 + 1) 而[(z - 1 + 1) ]' = [∑ (-1)n (z - 1)n ]' ∞= ∑(-1)n n (z - 1)n -1n =0f (z ) = ∑(-1)n +1 n (z - 1)n -2n =0-------6 分（2）当0 < z < 1f (z ) =1= -11 ∞z nz 2 (z - 1)= -∑ z n -2n =0z 2 (1 - z ) =2∑n =0-------10 分（3）当1 < z < ∞f (z ) = 1= 11z 2 (z - 1) z 3 (1 - )1 ∞ f (z ) = z 1 n =∞1 ∑z 3 ∑( )z zn +3------14 分每步可以酌情给分。

n =0 n =0 五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x⎨y (0) = 1 = y '(0) = 1解：对 y (x ) 的 Laplace 变换记做L (s ) ，依据 Laplace 变换性质有z-1整理得s 2 L (s ) - s - 1 - 5(sL (s ) - 1) + 4L (s ) =1s + 1…（ 5 分）L (s ) =1 +(s + 1)(s - 1)(s - 4) 1s - 1= 1 10(s + 1) = 1 10(s + 1) -1 6(s -1) + 5 6(s -1) + 1 + 15(s - 4) +1 15(s - 4) 1 s -1 …（7 分）y (x ) = 1 e -x + 5e x + 1 e 4 x…（10 分）10 6 15六、（6 分）求 f (t) et(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt2 2d2 eF ()eietd t(0)--------3 分F () eiedte iedt( 0)e (i )tdte(i )tdt(0)e (i )ti(0)F () 11 2(0) ------4 分i i22f (t )e i F ()d (0)2- -------5 分1e i2d(0) 2221(cos i sin)d(0)222 cos di sind( 0)2222e(i )ti解： 0f (t ) 2 cos d(0)， ------------6 分0 2 2costt2d2e«复变函数与积分变换»期末试题（B)1. 填空题（每小题 3 分，共计 15 分）2．1． 1 - i 的幅角是（）；2. Ln (- + i ) 的主值是 2（）；3.a =（），f (z ) = x 2 + 2xy - y 2 + i (ax 2 + 2xy + y 2 ) 在复平面内处处解析．4．z = 0 是z - sin z 的（）极点；5．z3f (z ) = 1z ，Re s [ f (z ),∞] =（）；二．选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1．解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为（ ）；（A ） f '(z ) = u y + iv x ； （B ） f '(z ) = u x- iu y ；（C）f '(z ) = u x + iv y ； （D） f '(z ) = u x + iu y . 2．C 是正向圆周 z = 2 ，如果函数 f (z ) = （），则⎰C f (z )d z = 0 ．（A ）3z - 1； （B ） 3zz - 1 ； （C ） 3z(z - 1)2 ； （D ） 3. (z -1)2∞3. 如果级数∑c n n =1z n在 z = 2i 点收敛，则级数在（A ） z = -2 点条件收敛 ； （B ） z = -2i 点绝对收敛； （C ） z = 1 + i 点绝对收敛； （D ） z = 1 + 2i 点一定发散． ４．下列结论正确的是( )（A ） 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导，则 f (z ) 在 z 0 点一定解析；(B)如果⎰C f (z)dz = 0 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z) 在C 所围成的区域内一定解析；（C）函数f (z) 在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数 f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u(x, y) 、v(x, y) 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．（A）、lnz是复平面上的多值函数；(B)、cosz是无界函数；(C)、sin z是复平面上的有界函数；（D）、e z是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题8 分，共计50 分）（1）设f (z) u( x, y) i( x2 g( y))) 是解析函数，且f (0) 0 ，求g( y),u( x, y), f (z) ．（2）．计算⎰ zd z ．其中 C 是正向圆周z = 2 ；C(z+21)(z-i)2得分1（3）．计算 ⎰ z 2C (1 - z )e 1z d z ，其中 C 是正向圆周 z =（4．利用留数计算 ⎰C(z - 1)(z - 2)2d z ．其中 C 是正向圆周 z = 3 ；2 ；（5）函数f (z ) z (z 2 1)(z 2)3 (sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如 果有极点，请指出它的级.四、（本题 12 分）将函数 f (z ) =1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗 （1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞级数；得分⎩五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 8 分）求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt22 d2e 0得分得分z 2«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）填空题（每小题3 分，共计15 分）1.1-i 的幅角是（2Ln(-1 -i) 的主值是（1 ln 2 --+ 2k,k = 0 ±1,±2,4）；2.1i ）；3. f (z) =2 4 1 +z2 ，f (7) (0) =（ 0 ）；4． f (z) =z - sin zz 3 ，Re s[ f (z),0] =（0）；5． f (z) = 1 ，Re s[ f (z),∞] =（0 ）；二．选择题（每小题3 分，共计15 分）1-------5 A A C C C三．按要求完成下列各题（每小题10 分，共计40 分）（1）求a,b, c, d 使f (z) =x2 +axy +by 2 +i(cx2 +dxy +y 2 )是解析函数，解：因为f (z) 解析，由 C-R 条件∂u=∂v∂x ∂y ∂u=-∂v ∂y ∂x2x +ay =dx + 2y ax + 2by =-2cx -dy,a = 2, d = 2, ，a=-2c,2b =-d ,c =-1, b =-1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。