引言《压力容器》“压力容器应力分析设计方法的进展和评述”中曾介绍和评述了压力容器分析设计的弹性应力分析方法（又称应力分类法）的最新进展。

本文将进一步介绍和评述压力容器分析设计的塑性分析方法，包括ASME的极限载荷分析方法、弹塑性应力分析方法和欧盟的直接方法等。

压力容器设计是一个创新意识非常活跃的工程领域，它紧跟着科学技术的发展而不断地更新设计方法。

随着弹性理论、板壳理论和线性有限元分析方法的成熟，20世纪60年代，压力容器界提出了基于弹性应力分析和塑性失效准则的“弹性应力分析设计方法”。

进入21世纪后，由于塑性理论和非线性有限元分析方法的日趋成熟，欧盟标准和ASME规范又先后推出了压力容器的塑性分析设计方法。

其中涉及许多新的基本概念和新的分析方法，需要我们及时学习领会和消化吸收，以提高我们的分析设计水平，并结合国情进一步修订我国的压力容器设计规范。

ASME和欧盟的新规范都是以失效模式为主线来编排的。

ASME考虑了以下4种模式：（1）防止塑性垮塌。

对应于欧盟的“总体塑性变形(GPD)”失效模式。

（2）防止局部失效。

（3）防止屈曲（失稳）垮塌。

对应于欧盟的“失稳（I）”失效模式。

（4）防止循环加载失效。

对应于欧盟的“疲劳（F）”和“渐增塑性变形（PD）”2种失效模式。

欧盟还考虑了“静力平衡（SE）”失效模式，即防止设备发生倾薄。

文中讨论的塑性分析设计方法主要应用于防止塑性垮塌和防止局部失效2种情况。

1、极限载荷分析法在一次加载情况下，结构的失效是一个加载历史过程，即随着载荷的增加从纯弹性状态到局部塑性状态再到总体塑性流动的失效状态。

对无硬化的理想塑性材料和小变形情况，结构进入总体塑性流动时的状态称为极限状态，相应的载荷称为极限载荷。

此时，结构变成几何可变的垮塌机构，将发生不可限制的塑性变形，因而失去承载能力。

一般的弹塑性分析方法都要考虑上述复杂的加载历史过程，但极限载荷分析法（简称极限分析）则另辟蹊径，跳过加载历史，直接考虑在最终的极限状态下结构的平衡特性，由此求出结构的承载能力（即极限载荷）。

它是塑性力学的一个重要分支。

极限分析求得的极限载荷与对弹性-理想塑性材料结构进行弹塑性小变形分析的结果是完全一致的。

极限载荷分析法的基础是极限平衡理论。

它由如下2个定理组成：（1）下限定理：满足平衡方程和外力边界条件、且不违反屈服条件（“不违反屈服条件”的含义是：结构中的应力都在屈服面内或屈服面上，而不能在屈服面之外。

以理想塑性材料受单向应力作用为例，应力可以小于或等于屈服限，但不能大于屈服限）的应力场称为“静力容许场”。

与静力容许场相对应的载荷是极限载荷的下限解。

（2）上限定理：满足几何约束条件、且能形成几何可变的垮塌机构的位移（速度）场称为“机动容许场”。

与机动容许场相对应的载荷是极限载荷的上限解。

用下限定理按静力容许场的平衡条件和屈服条件求极限载荷下限的方法称为极限分析的静力法；用上限定理按机动容许场的内力功等于外力功的条件求极限载荷上限的方法称为极限分析的机动法。

下限定理给出了结构不垮塌的必要条件，上限定理则给出了结构垮塌的充分条件。

静力容许场和机动容许场都可以有许多种，所以用下限(上限）定理可以求得无穷多个极限载荷的下限(上限）近似值，其中越大（越小）越接近真实的极限载荷，极限载荷是下限（上限）近似值的最大（最小）者。

如果分别用下限和上限定理求得的极限载荷近似值相等，则该值就是真实的极限载荷。

由于要事先预测复杂结构的机动容许场有一定的难度，上限定理在工程应用中受到一些限制；又由于下限解是小于真实极限载荷、偏保守的近似解，所以ASME 规范在极限载荷分析法中只要求计算极限载荷的下限。

基于上、下限定理人们已经找到许多简单结构的极限载荷解析解，读者可以查阅各种塑性力学的教科书。

霍奇的专著是关于板壳结构极限分析基本理论和解析解的经典著作。

极限分析的数值解法主要有两类：一类是基于理想塑性材料和小变形假设用弹塑性有限元分析方法来计算极限载荷；另一类是基于下限定理用线性（或非线性）规划算法来计算极限载荷。

目前后者尚未见公认的通用软件，主要用于科研领域。

前者已是许多著名有限元软件的核心功能之一，并已积累了不少工程应用经验，所以ASME 规范选择了前者。

下面对前者做进一步的介绍。

1.1 数值模型用于极限载荷分析的有限元数值模型采用如下3个基本假设：（1）采用弹性-理想塑性材料模型（弹性通常是线弹性）。

理想塑性材料是无冷作硬化的材料，进人塑性后应力始终保持为屈服限。

它是有硬化的实际材料的一种偏保守的简化模型。

“理想塑性”材料包括“弹性-理想塑性”和“刚性-理想塑性”(简称“刚塑性”）两种材料模型。

用这两种模型得到的极限载荷是相同的。

有限元分析常用前者，求解析解时常用后者。

ASME新版还规定理想塑性材料模型中的屈服限取为1. 5S，以控制那些屈服限较高的高强材料。

这里S是材料在设计温度下的基本许用应力 (即以前版本中的S）。

m（2）采用线性的应变-位移表达式。

（3）参照未变形结构形状建立平衡关系。

综合（2）和（3），称为“线性小变形（小位移）理论”。

采用线性应变-位移关系、但参照已变形结构形状建立平衡关系的理论称为“大挠度理论”，一般用于板、壳等弹性薄壁结构。

采用非线性应变-位移关系、且参照已变形结构形状建立平衡关系的理论称为“大变形（大位移）理论”。

“大挠度理论”和“大变形理论”都属于“几何非线性理沦”。

在欧盟标准中将“线性小变形理论”和“大挠度理论”分别称为“一阶理论”和“二阶理论”。

（4）采用冯•米赛斯（Von Mises）屈服准则和关联流动法则。

米赛斯屈服准则就是大家熟悉的第四强度理论，它对应于一个椭球形的屈服面。

当应力达到屈服面时，材料发生塑性流动。

塑性流动的方向可以用塑性应变增量的矢量方向来表示。

德鲁克（Drucker，D.C.）根据塑性变形过程中塑性功非负的假设提出：塑性应变增量的矢量应与屈服面正交，称为“正交流动法则”。

塑性力学中有2个函数：一个是屈服函数，其等值面就是屈服面；另一个是塑性势函数，塑性应变增量的矢量沿其等值面的外法线方向。

于是，若令塑性势函数与屈服函数相等（相关联）就得到正交流动法则，所以德鲁克流动法则也称为“关联流动法则”。

塑性势函数与屈服函数不相等的另一类法则称为“非关联流动法则”，此时塑性应变增量的矢量与屈服面不再正交。

“关联流动法则”适用于大多数金属材料，而岩土和混凝土等材料则宜采用较复杂的“非关联流动法则”。

1.2载荷施加（1）采用由零到最大值的、逐步递增的一次加载方式。

与极限载荷对应的是一次加载情况下的失效模式，所以弹塑性有限元计算的载荷增量必须恒正。

虽然在进人塑性后为了使迭代收敛载荷增量需要逐步减小，但不能出现增量为负的卸载情况。

（2）当受多种载荷联合作用时，应采用比例加载方式。

即各种载荷按相同的百分比同时由零增加到最大值。

ASME规范在表5.4中给出了极限载荷分析中应考虑的各种载荷组合情况，这些载荷组合都按比例加载方式施加。

1.3 评定准则ASME - VIII - 2老版本对极限载荷的评定准则是：若结构的规定设计载荷不超过极限载荷的2/3，则设计是可行的。

老版本中同时规定：根据试验或数值计算的结果绘制载荷-最大位移（或最大应变）曲线，然后用两倍弹性斜率法来确定极限载荷。

这样确定的“极限载荷”实际上是真实极限载荷的一个保守程度较大的下限近似值。

极限载荷是结构开始发生无限制总体塑性流动时的载荷。

在采用位移法有限元的弹塑性分析中，当极小的载荷增量也会导致计算不收敛时，就达到了极限载荷。

ASME - VIII - 2新版本中定义：“极限载荷是导致总体结构不稳定的载荷。

这表现为对小的载荷增量不能求得平衡解（即解将不收敛）”。

与两倍弹性斜率法相比，这是对极限载荷更为准确的定义。

需要指出的是，进入塑性后有限元计算中的载荷增量必须逐步减小，若载荷增量设置过大，会直接导致计算不收敛，称为“数值发散”。

不能将数值发散误认为达到了极限载荷。

为了避免数值发散，许多有限元软件都添加了弹塑性计算自动加载子程序。

该子程序对进入塑性后的每个加载步都会先采用上一步的载荷增量（或乘以0.8至1.0的减缩系数）进行试算。

若收敛，则继续加载；若发散，则自动将载荷增量减半后再重新计算。

这里介绍一种判断是否达到了极限载荷的数值处理方法：绘制载荷-最大位移（或最大应变）曲线。

当该曲线已经算到趋于水平（该加载步的曲线斜率已小于弹性斜率的百分之一）的阶段，则达到了极限载荷。

若该曲线在斜率较大时不能收敛，则属于数值发散，应该减小载荷增量再重新计算。

如上所述，精确计算和判定极限载荷的过程还比较复杂。

为了避免先要精确计算极限载荷的麻烦，参照美国土木工程规范ASCE 7 - 05的做法，ASME - VIII - 2新版在评定时引进了“载荷与抗力系数设计（LRFD)”的概念。

该方法将安全系数（考虑可能出现的各种不确定性的设计系数）乘到载荷上（详见该规范的表5.4)，然后用经过该系数放大后的载荷对结构加载，进行极限载荷分析。

只要对表5.4中规定的所有载荷情况组合，当载荷达到表中规定值时计算都能收敛，就说明这些施加了安全系数的载荷都小于极限载荷，评定可以通过。

若计算发散，先检查一下是否是数值发散，若否，则应修改设计方案。

在ASME新版中，除上述强度评定准则外还增加了一条由业主规定的“使用准则”，详细讨论见下文2.1节的弹塑性分析法。

1.4 适用范围（1）极限载荷分析可用于替代ASME新版5. 2. 2节弹性应力分析法中一次应力极限的校核(即满足Pm ≤S，PL≤1.5S和PL+Pb≤1.5S三个评定准则），但不能替代一次加二次应力极限的校核。

因为极限载荷分析只做一次加载，而二次应力是要循环加载的。

（2）极限载荷分析可用于计算极限载荷的大小，但计算给出的位移或应变的大小是无意义的。

因为极限载荷分析的基本假设和实际情况有一定差距，而且从理论上说，达到极限载荷后塑性流动不可限制，位移和应变都是不确定的。

若业主在使用准则中要求对位移或应变加以限制，则应采用下节的弹塑性分析法。

（3）当出现较大面积、中面内的压应力区时，有可能在达到极限载荷前先出现屈曲垮塌。

必须按ASME新版5. 4节对容器另做“防止屈曲垮塌”的评定。

在英文中“失稳”（instability，或译成“不稳定性”）是个含义较广的概念。

弹性（或弹塑性）屈曲（buckling )、塑性垮塌（collapse，如单向拉伸试件的颈缩现象），还有丧失静力平衡（如倾覆)都会使结构丧失稳定性。

在基于弹性分析的规则设计中人们往往对屈曲和失稳不加区分，习惯上把buckling也翻译成“失稳”，但考虑塑性分析后将buckling准确地翻译成“屈曲”是必要的。