O
2
2
2
2
85
A C
V
例 4，如图 4，O-ABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45º， ∠OAB=60º，求 OA 与 BC 所成的角。 [分析] AO ⋅ AC = 8 ⋅ 4 ⋅ cos 45° = 16 2 ，
B （4）
A
C （1） B
AO ⋅ AB = 8 ⋅ 6 ⋅ cos 60° = 24 ，
2
2
2 2 2
2
2
2
D1 A1 D B1 C
C1
m 2 + n 2 + d 2 − 2mn cos θ
[思考]若 C、D 不在 A、B 同一侧，则 CD 等于多少？）
A （3） B
例 6，如图 6，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 底面是菱形，∠C1CB=∠ C1CD=∠BCD=θ（θ为锐角），（1）求证：C1C⊥BD。 （2）当
课题：向量法解决立体几何问题（1）
执笔人：郭炜 2010。12.25 单位：江西省宜春市万载中学（336100） 课 题 ：空间向量的运算及其应用（1） 教学目标：理解“数量积”在“异面垂直”“求角求距离”等 、 方面的应用 教学重点：数量积的应用 教学难点：向量的正确分解；夹角公式的应用 教学方法：讲解法、启发引导法 教学过程：一、知识复习：数量积的概念及其性质 二、典型例题分析 例 1，如科（1）V—ABC 中，VA⊥BC，VB⊥AC，求证：VC⊥AB。 [分析]易知 VA ⋅ BC = VA(VC − VB) = VA ⋅ VC − VA ⋅ VB =0① 同理 VB ⋅ VC − VB ⋅ VA = 0 ② ①-②得
CD 的值为多少时，A1C⊥面 C1BD，请予证明。 CC1
C1 B
B1 D1 A
A1
证明（1）∵ CC1 ⋅ CB =| CC 1 | ⋅ | CB | cos θ ,
CC1 ⋅ CD =| CC 1 | ⋅ | CD | cos θ ,
又∵| CB |=| CD |,∴ CC 1 ⋅ CB = CC1 ⋅ CD
2
B
n D b
= CA + AB + BD + 2CA ⋅ AB + 2 AB ⋅ BD + 2CA ⋅ BD
∵AB 是 a,b 的公垂线，∴ AB ⊥ CA, AB ⊥ BD 易知 AC与BD 的夹角为θ，∴ CA ⋅ BD = − AC ⋅ BD =m.ncosθ ∴ CD =m +d +n +0+0+2（- m.ncosθ） ∴ CD =
个人备课笔录
[分析]如图 3， AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1
∴ AC1 = AB + AD + AA1 + 2 AB ⋅ AD + 2 AB ⋅ AA1 + 2 AD ⋅ AA1
=16+9+25+0+2·4·5cos60º+2·3·5cos60º =85 即 | AC1 |=
∴ AO ⋅ BC = AO ⋅ ( AC − AB) = 16 2 − 24 ，
cos < AO; BC >= AO ⋅ BC | AO | ⋅ | BC | = 16 2 − 24 1 = (2 2 − 3) < 0 8⋅5 5
A m C a d
VA ⋅ VC − VB ⋅ VC = 0 即 (VA − VB) ⋅ VC = BA ⋅ VC = 0
例 3，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=4，AD=3，AA1=5， ∠BAD=90º，∠BAA1=∠DAA1=60º，求 AC1 的长。
例 5，如图 5，异面直线 a,b 所成角为θ，AB 是公垂线段，AB=d， C，D 分别在 a,b 上，且在 AB 同一侧，若 AC=m，BD=n，求 CD 的长。 [分析] CD = (CA + AB + BD ) 2
即 | a | − | c | + | a − c | cos θ + | b | ⋅ | c | cosθ = 0
2 2 2 2
即 (| a | − | c |) ⋅ (| a | + | c | + | b | cos θ ) = 0
∵| a | + | c | + | b | cos θ > 0 ∴| aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ|=| c |
∴| CD |=| CC1 |,∴
CD = 1 时符合题意。 CC1
三、课堂训练：（学生试着再做一遍以上例题） 四、小结：（空间向量的数量积的运算性质） 五、作业：（“新思维”第 82 页） 六、预习：（空间向量的坐标运算）。
∴VC⊥AB 例 2，如图 2，V—ABC 是正四面体，E、F 分别为 VA、BC 的中点， 求证：EF 是 VA 与 BC 的公垂线。 V
∴OA 与 BC 所成角为 arccos E A F B （2） C
3−2 2 5
1 1 [分析]易知 EF = EV + VF = − VA + (VB + VC) 2 2 1 2 设棱长都为 a，则 VA ⋅ VB = VA ⋅ VC = a ⋅ a ⋅ cos 60° = a 2 1 2 1 ∴ EF ⋅ VA = − VA + (VB + VC) ⋅ VA 2 2 1 1 1 1 = − a 2 + ( a 2 + a 2 ) =0 2 2 2 2 ∴ EF ⊥ VA,同理EF ⊥ BC ，即得证
C
D (6)
∴ CC1 (CB − CD) = CC1 ⋅ DB = 0,即CC1 ⊥ BD
（2）设 CD = a, CB = b, CC 1 = c 则 CA1 = a + b + c, C1 D = a − c
∵ A1C ⊥ 面C1 BD,∴ CA1 ⊥ C1 D
( a + b + c ) ⋅ ( a − c ) = a − c + b( a − c ) = 0