第一章观测误差与传播率第一节观测误差1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号：（1）尺长不准确；（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；（3）尺不水平；（4）尺反曲或垂曲；（5）尺端偏离直线方向；（6）估读小数不准确；2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺竖立不直。

第二节衡量精度的指标3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角α=58002’00.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：58002’03” 58002’01” 58001’58” 58001’57” 58002’04”58001’59” 58001’59” 58002’05” 58002’01” 58001’57”试求测角中误差σ。

4、设有两组观测值X i和Y i，它们的真误差分别为：△x:2,-3,+1,0,+2 △y:0,+3,+1,-2,+3试求观测量X与Y的方差σx2和σy2,哪个测量观测精度高?5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：m）为：437.59 437.61 437.60 437.55 437.59 437.62 437.64 437.62437.64 437.61 437.69 437.63 437.61 437.62 437.61 437.60437.56 437.68 437.65 437.58试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。

6、有两段距离S1和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00±2cm,试问哪段距离观测精度高?二距离各次观测值的观测真误差是否相同?7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。

（1）试估计该观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？（2）试求该观测值的相对中误差。

8、设有观测值L1的权P1=2，其方差为σ12=4,又知观测值L2的方差σ22=1,试求其权P2及协因数Q11和Q22。

9、在相同的观测条件下（每一测回观测精度相同）观测两个角度得∠A=30°00′00″，∠B=60°00′00″设对∠A观测9个测回的权为P A=1,则对∠B观测16个测回的权P B为多少?10、在相同的观测条件下，作了4条线路的水准测量，它们的中误差分别为σ1=±2mm, σ2=±1.5mm, σ3=±1mm, σ4=±0.5mm,令单位权方差为σ0=±1mm，试求各线路观测高差的权P i(I=1,2,3,4)。

第二章 广义传播律与系统误差的传播第一节 随机向量的协方差阵、协因数阵与权阵一、定义1、 设有观测值向量L=[ L 1 ,L 2 ,L 3]T的方差阵为：试写出L 1，L 2及L 3的方差及协方差σL1 L3，σL2 L3，σL1 L2。

2、 已知观测值向量L=[L 1，L 2，L 3]T的权阵为：又知单位权方差σ02=32/5，试求协因数阵Q L 。

与协方差阵D L 。

3、 已知观测值L 1与L 2的协因数与互协因数Q 11=0.17908,Q 22=0.16123, Q 12=Q 21=0.1321,试写出出其协因数阵Q L 。

4、 已知测站点坐标X 和Y 的中误差分别为σx =±4.0cm, σy =±3.0cm 。

（1） 若已知X 和Y 的协方差σxy =9.0cm 2，试写出出向量 = 的方差阵D Z 和X 与Y 的相关系数ρxy ；（2） 若已知相关系数ρxy = -0.50,试求x 和y 的协方差σxy 和方差阵D Z ； （3） 设单位权方差为σ02=9cm 2，求以上两种情况下的协因数阵与权阵。

5、 设测站点的平面位置由角度θ和距离S 给出,已知其中误差θσ = ±20″, σS = ±0.10,相关系数ρ=0.50。

（1）试求向量Z= 的协方差阵D Z ;（2）权方差σ02=0.0010m 2,试求向量Z 的协因数阵Qz 和权阵Pz 。

6、 设某点平面位置由极坐标r 和θ给出，其中，r 为边长，θ为角度，已知方差σr 2=0.0001m 2, σθ2=4.125,协方差σr θ=0.0371m. (″)2, 令Y= 。

（1）试求D Y；（2）若取σ02=0.0001m 2时，求Q Y ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.13.01.03.07.02.01.02.08.0L D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210131012L P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡S θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡θr 1,2z（3）若取σ02=4125(″)2时,求Q Y 。

二、协方差估值的计算7、设有两组观测值Xi 与Yi(I=1,2, …9)的真误差分别为:△ X i : +2.5, -1.5, -3.5, +3.5, -2.5, -0.5, +5.5, +2.5, -2.5; △ Y i : -3.0, -7.0, 0.0, +3.0, +2.0, 0.0, -3.0, +8.0, 0.0;设每组内的观测值勤均为同精度独立观测值勤,试求两组观测值勤的中误差与协方差估值。

81i 2i 3i 如下：试求观测值L 1，L 2，L 3的方差与其各协方差的估值。

9、设 =[L 1，L 2, …,Ln], = [V 1,V 2, …,V n ] T,若令 试写出方差阵D z 及互协方差阵D v Xˆ。

10、已知相关观测值 =[L1，L2]T的权阵为：试求权P L1与P L2。

11、已知独立观测值L=[L 1，L 2]T的方差阵及单位权方差σ02=2,试求权阵P L 及权P 1,P 2。

12、设有相关观测值X=[X 1，X 2]T，已知其权阵1,n L 1,n V 1,2L []TtX XX X ˆ...ˆˆˆ21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=X V L Z ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5225L P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=80016L D及单位权方差σ02=1，试求X 的方差阵及观测值的权P 1,P 2。

13、已知相关观测值 的协因数阵试求权阵P L 及权P 1,P 2。

14、已知相关观测值 的方差阵及单位权方差σ02=2，试求权阵P L 及权P 1和P 2。

15、已知相关观测值 的方差阵又知L 1的协因数Q 11=3/2，试求观测值的权阵 P L 及权P 1,P 2。

16、已知相关观测值 的方差阵：及单位权方差σ02=2，试求方差阵D L 。

17、已知观测向量 =[L 1，L 2]T，已知其权阵的协方差阵及协因数阵为：求单位权方差σ02。

四、随机向量组中各随机向量的权阵及协因数阵的计算18、设有向量 = ,其中， = ，已知权阵Pz 为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3224X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4118L Q 1,2L 1,2L 1,2L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2113L D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3112L D 1,2L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112L P 1,2L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4226L Q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3112L D 1,3Z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Y X 1.11,21,2X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21X X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P试求Px , P Y 及权Px 1 , Px 2 , Py 。

19、若令Z= ，其中Y=，已知权阵Pz 为：试求Px , P Y 及P Y1 , P Y2。

20、已知观测值向量 的权阵为：（1）试问这三个观测值中有无不相关的观测值，指出哪些是不相关的观测值；（2）设以L 1，L 2组成观测向量 = ，试写出它的权阵P L ′及权P 3。

21、设已知 = ， = ，Z= ，权阵Pz 为：试求权阵Px 及Py 。

22、设有观测向量Z= ，其中，X= ，Y= ，已知协因数阵Qz 为：试求协因数阵Qx,Qy 及权阵Px,Py 。

第二节 广义传播律一、 线性函数的广义传播律⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Y X 1,21,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡21Y Y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P 1,3L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=52124212581L P 1,2'L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21L L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21XX 1,2X 1,2Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21Y Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3100120000210011Z P ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡1,21,2Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21Y Y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=3111121111211112Z Q23、在测站A 上以等精度观则了三个方向得观测值 L 1,L 2,L 3(见图2-1)，其方差均为σ2试求角度α，β和γ的方差及协方差。

24、 设有观测值向量的协方差阵为：（1） 试计算线性函数：X=L 1+3L 2-2L 3及Y=100+5L 1-L 2/3+L 3/4的方差σX 2、σY 2及协方差σXY ；（2） 设单位权方差σ02=2，试问函数φ1=2L 1+L 2与φ2=4.5L 2+6L 3是否相关。

25、设有独立观测值L 1和L 2，其中误差为σ1=±2.3cm ，σ2=±1.7cm ，是求它们的和数与差数的方差及协方差。

26、 已知观测向量 及其协方差阵D L ，试求函数X=AL ，Y=BX 的协方差阵D XL ，D YL ，及D XY 。

27、 已知观测值向量及其协方差阵为：将L i 组成函数：X=AL 1+A1,3L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212140206L D 1,n L 1,331,221,11,,n n n L L L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211D D D D D D D D D D L3ˆL 3ˆL ωY=BL 2+B 0 Z=CL 3+C 0式中，A 、B 、C 为系数阵，A 0、B 0、C 0为常数阵，若令向量试求协方差阵D W 。

28、 设有观测值向量 =[L 1，L 2，L 3]T，其协方差阵为：D L =试求函数F=L 1+3L 2-2L 3的方差。

29 设有观测量值向量=[L 1，L 2，L 3]T 及其函数为 =L 1- ， =L 2- ， =L 3- ，式中， =L 1+L 3-L 2。

若令 =[ ]T，D L =试求 的方差阵 。

30、在高级水准点A ，B 间（其高程无误差）进行水准测量，如图2-2。

路线长为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每里观测高差的中误差为mm km 0.1±=σ。