一个数学问题解决的心路历程
15号顾贵浙江省萧山中学
解决一道较复杂的数学问题所经历的“心路历程”可以用“惊心动魄”来加以形容，时儿“深陷绝境”，时儿又“绝处逢生”，其中的滋味往往只有解题者本人知晓解题活动对于学生旨在提高解题能力，开发智力；对于教师则应该总结成功解题的经验，探索解题规律，提高学生的解题教学水平，然而解题活动是一项十分复杂的心智活动，只有在解题活动过程中研究其心理机制，才更有利于解题规律的把握，从而对解题教学活动施以积极影。
下面借用一个例题体现解决数学问题的一般的心路历程。
的心理机制并提出解题教学的若干对策
a,b,c满足【例子】若实数
aba?b22?2?，①
abca?b?c222?2??，②
c的最大值是则．
看懂题目的字面含义并不难，但两个已知等式有什么用、怎么用都不清楚，这需要与结论联系起来加以思考．
（1）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．
条件是两个等式．
aba?bab22?2?2?2ba,条件1等于该两数之积．的两数之和：等式，其特点是含
cabb?cabc?a22?22?2?2?2?c,a,b，其特点是含的三数之和等于该三数之积．：等式条件2 （2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．
结论是求的最大值，可以看成求函数的最值．为了求函数的最值，一个途径是弄清函数的解析式和c定义域．
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．
理解条件和结论，我们的脑子呈现这样的数学结构：构建函数并求最值．
但是，函数是什么、怎么求最值？下面是一个思路探求的过程．
为了构建函数，我们需要再次理解条件，寻找函数的解析式和定义域．找函数的解析式主要是找等量关系，条件中有2个等式，比较现成；找函数的定义域就是找自变量和它的变化范围（不等式），但是自变量在哪里？怎样由等式得出不等式呢？
c，所以函数解析式要从条件②中找．首先由条件②解出因为条件②含有．
ab22?c?2，ba1?22
a?bab?0?2?2x?2b,a，得都有关系（二元函数），故设可见与c x c?2，x?1于是，经过变形、换元、消元，函数有了（自变量也有了）：
xc?log．21?x aba?b22?x?2?（即条件这时，定义域应该从自变量1）出发去寻找，其实质是找（二元函数）??b,ax?g的值域．由“两数和、两数积”的结构想到基本不等式，由
a?baba?b?2x?x?22?x?22?4?2，
定义域也有了．
abc22,C?A?2,B?，则设
A?B?AB?x?x?C??x?C?xC．?ABCC??B?A1?x?解题的思路已经打通（如何表达？需定方法、找起点、分层次、选定理、用文字．可分四步书写：求定义域、求函数表达式、放大为常数，验证常数可以取到）．
a?baba?b?2x2?x?2??24?22x?a?b?1x?4．设，当时解
abca?b?cabc2??22222?2?，有又由
ab x?22c2??x?4），（ba22?1x?1
x???fx4x?4?x因，当）是一个减函数（糖水加糖变甜了）时达到最大值，故有（1x?4x??c?f?24?，
3?1x4logc?得．234logc4x?时所以，当取最大值23这是一道普通的数学问题，但是同样要经历数学解题的四个过程
一、审题
所谓审题。
一般说就是了解题意,搞清问题中所给予的条件和要达到的目的。
从心理学的观点来看,即分只有明确了问题的条审题时解决问题的首要环节。
在头脑中建立起该问题的最初表征。
,析问题的基本结构．
件和要求,在头脑中建立起该问题的映像后,才能通过联想,回忆起解决当前问题所需的知识,才能使我们学过的定理,定义具体化,使我们学过的解题方法得到实际的应用。
找到解决问题的最好方法。
我们在解数学题的时候,首先是理解题意,即对整个问题进行分析,区分已知条件和要求的目标,有时还要将目标划分为最基本的不能再分的部分。
需要将已知条件和目标进行对照综合,这样才能弄清由已知条件出发能否最终达到终点。
在实际的教学中,不仅要使学生重视审题。
同时要使学生善于审题,养成良好的审题习惯,掌握审题的技能。
善于审题必须先善于读题,其次要有合理的程序,此外还要学生善于改造问题,如把抽象的复杂关系形象化;或者省掉无关的情结,把问题简约化;或把简缩语言加以扩展,确切把握题意。
二、联想
联想即有一种心理过程而引起另一种与之相连的心理过程的现象。
知识的掌握过程中的联想即以所形成的问题的表征为提取线索,去激活脑中有关的知识结构。
联想是使抽象化或概括化的知识得以具体化的必要环节。
解决问题总是依赖过去的知识经验。
比如在解决数学问题时,根据所形成的问题表征,去激活回忆与该问题有关的知识方法,公式,定理,定义,学过的例题,解过的题目等,
并考虑能否利用它们的结果或者方法。
克服在引进适当的辅助元素后加以利用,能否找出与该问题有关的一个特殊的问题或一格一般的问题或
一个类似的问题。
如果能够从所给问题中辨认出符合问题目标的某个熟悉的模式,那么就能提出相应的解题设想,进而解决问题。
在解题过程中,联想活动的进行将因问题的复杂程度和学生对所学知识的掌握
程度的不同,而有扩展与压缩,直接与间接,意识到知识的重现与意识到知识的重现的分别。
在解决比较简单的问题或者对某种原理概念能熟练应用的情况下,应用过程中的联想是高度压缩的,多数是通过
一种直接的概括联想,一般都意识不到有关知识的重现。
有些情况下,学生不能联想,难以激活原来的知识结构,或者即使联想,但联想的内容错误。
常受到与其相近的比较巩固的旧的知识的干扰。
其主要原因是领会水平较低或者领会错误,或原有的知识不巩固,或缺乏联想的技能。
为才产生准确而灵活的联想,除了要保证知识的领会和巩固外,还要有目的的进行联想技能的训练。
三、解析
解析即分析事物的矛盾,分析已知和未知双方的内部联系,寻找解决矛盾的条件和方法,数学解题中的解析即统一的分析问题中各部分的内在联系,分析问题的结构。
将问题结构的各部分与原有知识结构的有关部分进行匹配。
解析的结果往往表现为提出解决当前问题的各种设想,制定具体的计划与步骤,探索解决问题的方法有多种多样,比如在解决数学问题时,可以通过分析。
综合等基本的思维活动。
并依据已有的知识。
将问题的条件或结论作适当的变更和转换。
使之更易于利用某种原理或者概念来解决问
题;也可以通过变换。
使眼前的问题特殊化或者一般化;还可以利用适当的辅助问题,在探索解题方法的过程中,有时需要不断的多次变更问题,综合应用各种方法。
解析是具体化过程的核心环节。
决定着就具体化的水平。
为此,在教学中应对解析技能的培养给予高度的重视。
教师可以遵循心智技能形成和培训的规律,来传授和提高学生的解析能力。
．
四、类化
类化也较归类。
即概括出眼前问题与原有知识的共同的本质特征,并将这一具体的问题归入原有的同类知识体系中去,以便理解当前的问题的性质。
类化是抽象的知识具体化的最终环节,是审题,联想与解析的基础上,揭示出当前问题与过去的知识经验所具有的共同本质特征的过程。
类化与抽象知识的具体化是从不同方面来说的,就基本的过程而言,都是在抽象知识的指引下,通过一系列的分析,使已习得的抽象知识同当前的问题发生联系或沟通,若从当前的课题方面来说,由于该具体的课题纳入了相应的同一知识系统中,可
以说是类化;若从已习得的抽象的知识方面来说,由于它与新的同类事物间建立了联系,因此,又可以说是具体化。
类化的进程将因题目的难易。
同例题的差别程度以及已有抽象知识的领会水平等的不同而有差异。
在熟练的应用所学的知识去解决那些难度较低,同例题差别较小的问题时,类化过程几乎是同审题联想与解析过程一起实现的,这时类化的进程是高度缩减的,直接的。
如果是初次应用刚刚学会定理概念,或者眼前的问题同例题的差别大,一时是难以辨认其本质特征时,类化通常是展开的,间接的。
有时,学生虽然通过审题,联想与解析活动能将问题与原有知识进行一一对应,但他们仍然将这个题目视作一个特殊的例子不能纳入一个概括的类别。
因此,当他们再遇到同类题目的时候,仍将它们视作不熟悉的新课题,反复进行审题,联想,解析,直到最后的类化。
审题,联想,解析,类化是数学解题过程中不可缺少的四个环节,且彼此之间相互联系。
首先,这四个成分的执行有一定的顺序,且每个成分是下一个成分的前提。
也就是说,联想是在审题的基础上进行的,学生必须根据所形成问题的最初映像,有选择的激活已有的知识;解析又是以审题和联想的结果作为对象的,其方向也是有审
题和联想决定的,在此基础上才能找到问题与所学知识的共同点,加以类化。
审题联想越准确,越有助于深刻的解析和广泛的类化,对知识的掌握程度也就相应的提高,数学解题能力也就越强。