2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.（5分）设集合A={x€ Z| （x-4）（x+1）V O} , B={2, 3, 4}，则A H B=（）A. （2, 4）B. {2, 4}C. {3}D. {2, 3}2. （5分）若x>y,且x+y=2，贝U下列不等式成立的是（）A. x2v y2B. —C. x2> 1D. y2v 1x y3. （5 分）已知向量；=（x- 1 , 2） , b = （x, 1）,且；// 匸，贝U | ；+匸| =（）A.匚B. 2C. 2 匚D. 3 匚4. （5 分）若t血（a-牛）=2,则tan2 a（）A.- 3B. 3C.二D.4 45. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 166. （5 分）已知命题p: ? x o€ R,使得e x0< 0:命题q: a, b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A qIT7. （5 分）在厶ABC中，“C^”是“sinA=cos的”）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （5分）已知函数f （x）=sin? x+ ；cos? x （? >0）图象的最高点与相邻最低点的距离是若将y=f （x）的图象向右平移'个单位得到y=g （x）的图象，6则函数y=g （x）图象的一条对称轴方程是（）115A. x=0B.： -二C. -二D.厂一9. （5分）已知0v a v b v 1,给出以下结论：- - .. ■；④ logj > log 」•则其中正确丄丄2 323的结论个数是（ ）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. （5分）已知x i 是函数f （x ） =x+1 - In （x+2）的零点，沁 是函数g （x ） =X-2ax+4a+4的零点，且满足| x i - X 2I < 1,则实数a 的最小值是（ ）A . 2-2 二B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 111. （5分）已知a , b , c € R,且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与 函数f （x ） =ax+bcosx+csinx 的图象都相切，贝U a+』"H c 的取值范围是（ ）A . [ - 2, 2]B. UW *E]C . - V'e V%] D . :勺匚】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（5分）已知变量x,y 满足约束条件r 亠®£-2，则z=2x+y 的最小值是 _________ .、x>l14 . （5分）已知偶函数f （x ）在［0, +x ）上单调递增，且f （2） =1，若f （2x+1） v 1,则x 的取值范围是 .15. （5分）在厶ABC 中，AB=2, AC=4 cosA=，过点A 作AM 丄BC,垂足为M ,Q 若点N 满足X 匕3二'I,贝U '*・■■■!= ___________ .16. （5分）如果｛a n ｝的首项 a 1=2017,其前 n 项和 S n 满足 S h +S n -1=- n 2 （n € N* ,n 》2）,贝U a 101= ____ .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演12. （5分）若存在实数 中e 为自然对数的底数）A. ｛：｝ B ［：*x ,使得关于 x 的不等式匚「+x 2- 2ax+a 2^— （其a 的取值集合为（ ）［——,+x ）10成立，则实数 皿｝ D .算步骤.17. （12分）在厶ABC中，•-二工，D是边BC上一点，且辽m；, BD=2.(1)求/ ADC的大小；(2)若域凭蔦，求△ ABC的面积.18. (12分)设公差大于0的等差数列｛a n｝的前n项和为已知S B=15，且a i,a4, a i3成等比数列，记数列；的前n项和为T n.(I)求T n；(U)若对于任意的n € N*, tT n< a n+11恒成立，求实数t的取值范围.19. (12 分)若函数f (x) =Asin( ? x+©) (A>0，... . -一■■-—)的部分2T 2图象如图所示.(I)设x€( 0，一)且 f ( a)=，求sin 2a 的值；3 5(II)若x€ ［，‘ ］且g (x) =2入f(x) +cos (4x-丄)的最大值为•’，求实12 12 3 2数入的值.20. (12分)已知函数f (x) =ke x-x3+2 (k€ R)恰有三个极值点x i，X2，X3, 且X|V x2v x3.(I)求k的取值范围：(II)求f (X2)的取值范围.21. (12分)已知函数f (x) =axlnx- x+l (a€ R),且f (x)>0.(I)求a；(II)求证：当，n€ N*时f 甘…--亠一v2ln2.n2+l n2 + 2 n Z+3 4n Z请考生在第22, 23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是「(a为参|y=4+5sina数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设^ ，■ • ■——，若l i，I2与曲线C分别交于异于原点的A，B］ 6 2 3两点，求△ AOB的面积.［选修4-5：不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x- 1|+| 2x+3| .(1)解不等式f (x)> 6;(2)记f (x)的最小值是m，正实数a, b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值.20仃-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5分)设集合 A={x € Z| (x -4) (x+1)V O} , B={2, 3, 4}，则 A H B=( )A . (2, 4) B. {2, 4} C. {3} D. {2, 3}【解答】 解：集合 A={x € Z| (x-4) (x+1 )V 0}={x € Z| - 1v x v 4}={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4}, 则 A H B={2, 3}, 故选：D2. (5分)若x >y ,且x+y=2，贝U 下列不等式成立的是( )A . x 2v y 2B .「C. x 2> 1 D . y 2v 1K y【解答】解x >y ,且x+y=2,••• x>2 - x, ••• x> 1,故x 2> 1正确， 故选：CA .匚 B. 2C. 2 二D.• x -仁2x , 解得x=- 1 ,•- + = (-2 , 2) + (- 1 , 1) = (- 3 , 3), 第5页(共20页)3. (5分)已知向量1= (x- 1 , 2),■■= (x , 1),且 1 // ：■, 则 | ^ "| =( )【解答】解：I 尸（x - 1 , 2),=I| r + M 1「_「I' .I - = 3?,故选：D4. (5 分)若tanCCL^->2,则tan2 a==)A.- 3B. 3C.二D.44【解答】解：•••—= —可求tan a = 3,4 1+tanCl••• tan2 a= _「=「；=【1-tan21-(-3)24故选：D.5. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，•••每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，•••用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，•••该职工这个月缴水费55元，•••该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x- 10）X 5，•••由题意可列出一元一次方程式：30+ （x- 10）X 5=55，解得：x=15，故选：C.6. （5 分）已知命题p: ? xo€ R,使得e x0< 0:命题q: a，b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+x）可得：命题p: ?勺€ R,使得e x0< 0为假命题，若|a—1|=|b - 2|，贝U a- 1=b— 2 或a-仁-b+2即a- b=- 1,或a+b=3,故命题q为假命题，故?q为真命题；p V q, p A q为假命题，故选：B7. (5 分)在厶ABC 中，“鈕”是“ sinA=cos的”)2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：“C= ”“+B=》” “A= - B? sinA=cosB2 2 2反之sinA=cosB A+B=，或A= +B，“C=_”不一定成立,2 2 2TT••• A+B= 是sinA=cosB成立的充分不必要条件，2故选：A.8. (5分)已知函数f (x) =sin? x+ ；cos? x (? >0)图象的最高点与相邻最低点的距离是.=，若将y=f (x)的图象向右平移-个单位得到y=g (x)的图象，则函数y=g (x)图象的一条对称轴方程是( )115A. x=0B.：-二C.：-二D.Zoo【解答】解：•••函数 f (x) =sin?x+ _；cos?x=2sin (®x ) (? >0)图象的最3高点与相邻最低点的距离是.广，•设函数f (x)的周期为T,则(I ) 2+[2-( - 2) ]2= ( —) 2,解得：T=2,• T=2=，解得：3 = nco• f (x) =2sin ( n + ),31 1 IT=f (x—一)=2sin[ n (x—一)+ ] =2sin ( n• y=g (x)6 6 3•••当k=0时，函数y=g (x )图象的一条对称轴方程是：x=. 3故选：C.9. (5分)已知O v a v b v 1,给出以下结论: 丄 丄①■ L .1匕 匚 一-、_门二.】④logj >log2 3T J 2的结论个数是( )A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：由O v a v b v 1,知： 在①中，d )a >d )b >d )b ，故①正确；2 2 3丄 丄丄 丄在②中，当a- , b='时， -,-，此时.，故②错误;在③中，门：「n >log a >b ，故③正确；- ----------------------------- 2 3 3在④中，当 a=—，bp 时，log ^-^v log^=1 .故④错误. 故选：B.10. (5分)已知x i 是函数f (x ) =x+1 - In (x+2)的零点，沁 是函数g (x ) =« -2ax+4a+4的零点，且满足| * - X 2| < 1，则实数a 的最小值是( A . 2-2 二 B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 1【解答】解I ： f'( x ) =1 - •当-2v x v- 1 时，f'(x )v 0,当 x >- 1 时，f'( x )> 0, •••当x=- 1时，f (x )取得最小值f (- 1) =0, •- f (x )只有唯一一个零点x=- 1,即X 1=- 1,T |X 1 - x 2| W 1 , •- 2 w x 2 = 0,• g (x )在［-2, 0］上有零点，(1)若厶=4a 2 - 4 (4a+4) =0,即卩 a=2± 2 ':, 此时g (x )的零点为x=a, 显然当a=2 - 2「符合题意；•令 n + =k n +, k € 乙解得:jJ .则其中正确2 3k €Z ,(2)若厶=4a2—4 (4a+4)>0,即a v2- 2 ~或a>2+2 匚，①若g (x)在［-2, 0］上只有一个零点，则g (- 2) g (0)< 0, --a=- 1,g(-2)>0g(0)>0②若g (x)在［-2, 0］上有两个零点，则出_2<a<Qa< 2 -2 灵或a> 2+2^2解得-K a v2 - 2综上，a的最小值为-1.故选：D.11. (5分)已知a, b, c€ R,且满足b2+c?=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csi nx的图象都相切，贝U a+电.屮幻.•:c的取值范围是( ) A. ［- 2, 2］ B. ： PE “jG c. - Vc "扎］D. :: .■-::'【解答】解：•••函数 f (x) =ax+bcosx+csinx, b2+c2=1,••• f'(x) =a+ccosx- bsinx=a- sin (x- ©), 其中tan © =,b则 f (x)€ ［a- 1, a+1］,若存在两条互相垂直的直线与函数 f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1, k2€ ［a- 1, a+1］，使k*2=- 1,由( a- 1) (a+1) =a2- 1 >- 1 得：a=0,则a^^b+血c=应in ( ©+B),其中tan 0故a+ 二=c€ ［-二，二］,故选：B./ x \ 2 112. （5分）若存在实数x,使得关于x的不等式「_+x2- 2ax+a2< （其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A. {-,} B ［「）C {」} D.，心）【解答】解：不等式 -'：-:+x2-2ax+a2w 1 ,9 10即为（x—a）2+ C - _）2< ——3 3 10表示点（x, 一）与（a,：）的距离的平方不超过,3 3 10即最大值为-•10由（a,卫）在直线I: y=-x上,3 3设与直线I平行且与y二一相切的直线的切点为（m, n）,3可得切线的斜率为1 e m J ,3 3解得m=0, n=,3切点为（0, 1）,由切点到直线I的距离为直线I上的点3与曲线y=‘的距离的最小值，3可得（0-a）2+ （■—a）2二丄,3 3 10解得a=,10则a的取值集合为｛七｝.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知变量x, y满足约束条件' s-3y<-2 ,则z=2x+y的最小值是3【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）. 由z=2x+y 得y= - 2x+z,平移直线y=- 2x+z,由图象可知当直线y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最小，此时z最小.由/弓。