第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B = 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3
4π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)(012)k k
n k k n P k C p p k n -=-= ，，，，
一、选择题
1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）
A ．{}01，
B ．{}101-，，
C ．{}012，
，
D ．{}1
012-，，， 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3
()a bi +是实数，则（ ） A ．2
2
3b a = B ．22
3a b =
C ．22
9b a =
D ．22
9a b =
3．函数1
()f x x x
=
-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称
4．若1
3
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，
，，，，则（ ） A ．a <b <c
B ．c <a <b
C ． b <a <c
D ． b <c <a
5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，
，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．
929
B ．
1029
C ．
1929
D ．
2029
7．64(1(1-
的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为（ ）
A ．1
B
C
D ．2
9．设1a >，则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．(25)，
D ．(2
10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所
成的角的余弦值为（ ）
A ．
13
B ．
3
C ．
3
D ．
23
11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3
B ．2
C ．13
-
D ．12
-
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 15．已知F 是抛物线2
4C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设
FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ； 充要条件② ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4
cos 5
C =． （Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =
△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为
4
1010.999-．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1
AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
20．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n
n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n
n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．
A
B
C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
21．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =
，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos x
f x x
=
+．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．。