(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑

。其中 称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)
也显然有递推公式：

=
+ ( + 1)
17
153
10812
468180
13896582
299650806
4853222764
18
171
13566
662796
22323822
549789282
10246937272
19
m
n
7
190
16815
920550
34916946
973941900
20692933630
7
8
9
10
11
12
5040
8
109584
综合①、②知(14)式成立。
3. ! = ∑

(15)
证明：① 当 = 1时，
! = 1! = ∑
=∑

即此时，原式成立。
② 假设 = ( ≥ 1)时，原式成立，即
! = ∑

则
( + 1)! = ( + 1) ∑

=∑
[ + ( + 1 − ) ]
=∑
[ + ( + 2 − )
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用 可以把 写成
=∑

(−1)


(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑

=
!
=

=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得

∑


(−1)



(−1)
∑

(−1)


自然数幂和
作者：张明龙 2018.05
【摘要】
本文开始先推导或者说证明了自然数幂和的公式形式，在此基础上，推导出了公式系数，并给出简化
的自然数幂和公式形式。后通过推导得到公式系数之间的横向递推公式，利用伯努利数的特性推导得到公
式系数之间的纵向递推公式。横向递推公式是直接计算自然数次幂和公式的方法；纵向递推公式是由自然
=−

= 0 ( ≥ 9)

=

= 0 ( ≥ 11)
( − 1)( − 2)( − 3)( − 4)( − 5)( − 6) ( ≥ 8)
( ≥ 10)
……
再代入的值，就算出了 的值，如表 3。
6
表 3. 自然数幂和公式系数 （部分）
k i
0
1
2
1
0
1
1/2
1/2
Z =1=Z
即此时，原式成立。
② 假设 = ， + 1( ≥ 1)； = ( ≥ 1)时，原式成立，即
，
=
=
则

= ( + 1)
+ ( + 1 − )
= ( + 1 − )
=
(利用(12)式)
+ ( + 1)
(利用(12)式)
写成

=
(
)
(
)
即当 = + 1； = + 1时，原式也成立。
约定： = 1
3. 组合

= !/[! ( − )!]
约定： > 时，
=0
4. 组合公式


= ( + 1)
=
− ( + 1)
(1)
+
(2)
+ + + ⋯+ =
5. 记 = ∑
(3)
= 1 +2 +3 +⋯+
S = +
(4)
= + +
− ( + 1 − )
=∑
[
+ ( + 1 − )
=∑
[
+
=∑
[ + ( + 2 − )
(
=∑
)
(
)
(
)
(
)
( + 2 − )
] (利用(1)式)
+ ( + 1 − )
] (利用(2)式)
]
]
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②及 =
2. = ∑

，知(13)式成立。
(14)
证明：① 当 = 1时，
3
= =∑

即此时，原式成立。
② 假设 = ( ≥ 1)时，原式成立，即
=∑

则

= ∑

=∑

=∑
[( + 1)
− ( + 1 − )
=∑
[( + 1)
546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
13
91
3731
91091
1474473
16669653
135036473
14
105
5005
143325
2749747
37312275
368411615
15
120
6580
218400
4899622
78558480
928095740
16
136
8500
323680
8394022
156952432
2185031420

则
( + 2)! = ∙ ( + 1)! + 2 ∙ ( + 1)!
= 2 ∑
+ 2( + 1) ∑
(利用(15)式)
= 2∑
( + + 1)
= 2∑
[ + ( + 1)( + 1 − )]
= 2∑
[ + ( + 2 − )
= 2∑

∑
( + 1)⁄
( + 1)⁄
= 0 ( = 1,2,3, ⋯ , + 1)
(25)
( = 2,3,4, ⋯ , )，则(25)式即
=0
(26)
( = 0,1,2, ⋯ ⋯ )就是著名的伯努利数。因(22)式去掉常数项，(21)式用伯努利数表示为
= +
=∑

]
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(15)式成立。
4. ( + 1)! = 2 ∑

(16)
证明：① 当 = 1时，
( + 1)! = 2! = 2 ∑
= 2 ∑
即此时，原式成立。
② 假设 = ( ≥ 1)时，原式成立，即
( + 1)! = 2 ∑
4

及(21)式、二项式定理，得
+∑

=∑
∑

( = 0,1,2, ⋯ ⋯ )
变形得
∑
+ ) = ∑
(
∑


两边 的系数相等：
+ =∑

=∑

=∑


( = 0,1,2, ⋯ , + 1)
( = 0,1,2, ⋯ , )

( = 0,1,2, ⋯ , )
数 k 次幂和公式计算自然数 + 1次幂和公式的方法。最后简单给出积分式、矩阵式公式。
【关键字】
组合积和、幂三角、Y 数列、积分式、矩阵式
【准备知识】
1. 无特别说明，本文中的小写字母都表示自然数（N）
。
2. 排列

=∏
( − + 1) = ( − 1)( − 2) ⋯ ( − + 1)
)!(
)! ! !

)! !
)!(
( + 1)⁄

( + 1) + ( − 1) + ∑
)!

( = 1,2,3, ⋯ , + 1)
( = 1,2,3, ⋯ , + 1)
( = 1,2,3, ⋯ , + 1)

构造数列 = ( + 1), = − 1, =