中考数学中的“新定义”
近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析．
一、定义新符号
例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3，
]=l ，按此规定1]=
分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3，
∴1]=2．故应填2．
二、定义新数
例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为
[2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论：
①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33
)； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于
32； ③当m <0时，函数在x > 14
时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )．
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④
分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2，
22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33
)．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14
，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ．
三、定义新图形
(1)定义新点
例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…
这样依次得到点123,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若点1A 的坐标为(3，1)，则点3A 的坐标为 ，点 2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则,a b 应满足的条件为 ，
分析及解答 本题涉及到不等式的解法，规律探索依题意知点1A 的坐标为(3，1)，不难求出2A (O ，4)，3A (一3，1)，4A (0，一2)，5A (3，1)，…可知周期是4．因为2014= 503×4+2，故知点2014A 的坐标为(0，4)．若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则2A (1,1)b a -++，3A (,2)a b --+，4A (1,1)b a --+．因为点n A 的纵坐标都大于零，即列不等式组：b >0，a +1>0，
一b +2>0，一a
+1>0，解得一1<a <l ，0<b <2，故答案依次填：3A (一3，1)；2014A (0，4)；一1<a <l ，0<b <2．
(2)定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形”
例4 (2014·嘉兴市)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°∠B =80°．求∠C ，∠D 的度数．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形ABCD ”(如图2)，其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
(3)已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．
分析及解答 (1)利用“等对角四边形”的定义加以解决；
(2)①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然；
(3)应分类讨论：①如图4若∠ABC =∠ADC =90°；②如图5，若∠BCD =∠BAD =60°．两种情况加以讨论．具体解答如下：
答：(1)如图1，在等对角四边形ABCD 中，由于∠A ≠∠C ，故∠D =∠B =80°，
∴∠C =360°-∠A -∠B -∠D =360°-70°-80°-80°
=130°． (2)①如图2，连接BD ．
∵AB =AD ．∴∠ABD =∠ADB ．
∵∠ABC =∠ADC ∴∠ABC 一∠ABD =∠ADC —∠ADB ，
即∠CBD =∠CDB ．∴CB =CD ．
②不正确．
反例：如图3，∠A =∠C =90°，AB =AD ，而此时BC ≠CD ．
(3)(I )如图4，当∠ABC =∠ADC =90°时，不妨延长BC ，AD 相交于点E ．
∵∠ABC =90° ∠DAB =60°．
∴∠E =30°．
∵AB =5 ∴AE =10 ∴DE =AE 一AD =10—4=6
在Rt △CDE 中，∠EDC =90°，∠E =30°，故CE =2CD ．
根据勾股定理，得222
CD DE CE +=，
即2226(2)CD CD +=，解得CD =
在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得222AD CD AC +=，即2224(2AC +=，解得
AC =(II )如图5，当∠BAD =∠BCD =60°时，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂
足分别为点E ，F
∵DE ⊥AB ，∠BAD =60°，AD =4，知∠EDA =30°，
∴AE =2．DE =∴BE =AB —AE =5—2=3．
∵四边形DFBE 是矩形．∴DF =BE =3，BF =DE =
∵∠BCD =60°,tan ∠BCD =tan 60°=3DF CF CF
=，
∴CF BC =BF +CF ==
在Rt △ABC 中．∴222AB BC AC +=，即2225AC +=，故AC =例 5 (2014·兰州)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图6，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到
△DBE ，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB =30°．
①求证：ABCE 是等边三角形；
②求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD 是勾股四边形．
分析 (1)依据定义和所学过的特殊四边形，不难找到，有矩形、正方形、直角梯形，从中选出两个即可；
(2)①需要依据旋转的性质得出△ABC ≌△BDC ，进而得到BC =BE ，AC =DE ，再得出 △BCE 为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步求得∠DCE =90°，从而得出△DCE 是直角三角形，问题迎刃而解．具体过程略．
(3)定义新函数图象
例6 (2009·茂名市)已知：如图7，直线1:3l y x =b +经过点M (o ，14
)，一组抛物线的顶点123,,,,n B B B B ⋅⋅⋅ (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：11223311(,0),(,0),(,0),,(,0)n n A x A x A x A x ++⋅⋅⋅(n 为正整数)，设1(01)x d d =<<．
(1)求b 的值；
(2)求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式(用含d 的代数式表示)；
(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
探究：当(01)d d <<的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在，请你求出相应的d 的值．
分析及解答 (1)直接代人即可．14
b =．
(2)由(1)得1134
y x =
+，又∵11(1,)B y 在直线l 上 ∴当1x =时．111713412y =⨯+= ∴17(1,)12B ∵1x d =∴12(,0),(2,0)A d A d -．设()(2)(0)y a x d x d a =--+≠ 把17(1,)12B 代入7(1)(12)12
a d d =--+，得2712(1)a d =--， ∴抛物线的解析式是27()(2)12(1)y x d x d d =-
--+- (3)存在．
由抛物线的对称性知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半．又∵01d <<等腰直角三角形斜边的长小于2,∴等腰直角三角形斜边上的高一定小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．
∵当1x =时，1117113412
y =
⨯+=<， 当2x =时，21111213412
y =⨯+=< 当3x =时，3111311344y =⨯+=> ∴美丽抛物线的顶点只有1B 、
2B ． ①若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212
d =-=； ②若2B 为顶点，由211(2,
)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦． 由上知，d 的值为
512或1112
时，存在美丽抛物线．。