江苏省2020年高考数学的命题研究与预测一、填空题 1、题组（一）1．已知集合{}240A x x x x =-∈,Z ≤，2{|log (1),}B y y x x A ==+∈，则A B =I ． 2．若(3)a i i b i +=+，其中a b ∈R ，，i 是虚数单位，则a b -= ．3．双曲线C ：x 24－y 2m＝1(m ＞0)的离心率等于2，则该双曲线渐近线的斜率是________．4．设等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若2580a a +=，则53S S 的值为_____． 5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有你认为正确命题的序号） 2、题组（二）1．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数 字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．2．已知a 、b 、c 为集合A ＝{1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算 法框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________．3．已知f (x )＝sin x ，x ∈R，g (x )的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的范围是 ．4．已知函数x x x f 231)(3+=，对任意的]33[，-∈t ，0)()2(<+-x f tx f 恒成立，则x 的取值范围是 ．5．设()g x 是定义在R 上、以1为周期的函数，若()2()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[1,3]-，甲8 99 8 01 2 3 3 79乙则()f x 在区间[0,3]上的值域为________．6．在△ABC 中，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF<恒成立，则t 的最小值为 ．提示：不妨设4,6AB AC ==，在△ABE 中，22524cos BE A =-，在△ACF 中，24024cos CF A =-， 222524cos 1514024cos 4024cos BE A CF A A -==---， ∵ 0A π<<，∴1cos 1A -<<，221491664BE CF <<，即1748BE CF <<，∴BE tCF <恒成立时，t 的最小值为78．7．点00(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是 ．提示：对于①曲线C 在点P 处的切线方程为020011()y x x x x -=--，易得002(2,0),(0,)A x B x ，∴PA PB =； 对于②，OAB ∆的面积等于122OA OB ⋅=，为定值；对于③，设121211(,),(,)M x N x x x ，要使OMN ∆为等腰直角三角形，不妨设,OM NM OM MN ⊥=，当OM NM ⊥时，可得3121x x =，即可算得222222112()x y x y +=+，故真命题的个数个数为3个．3、题组（三）1． 对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．EFCBA提示：∵1()10f x x '=+>，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴ln ,ln ,a a ka b b kb +=⎧⎨+=⎩即,a b 是方程ln x x kx +=的两个不等的正实数根，问题等价于方程ln 1xk x-=有两个不等的正根．设ln ()x g x x =，易得101k e <-<，∴1(1,1)e+．2．如图所示, A , B , C 是圆O 上的三点, CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若 OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，则m ＋n 的取值范围是 ．提示：由题意，(0)OC kOD k =<u u u r u u u r ，又||||1||OC k OD =<u u u ru u ur ，∴10k -<<． 又∵B，A ，D 三点共线，∴(1)OD OA OB λλ=+-u u u r u u u r u u u r，∴(1)mOA nOB k OA k OB λλ+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴,(1)m k n k λλ==-， ∴m n k +=，从而(1,0)m n +∈-．3．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：()()()1x yf x f y f xy--=-，当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，且1()12f -=．设2111()()()2,*5111m f f f n n n n =+++∈+-N L ≥，则实数m 与－1的大小关系为 ．提示：∵函数f (x )满足()()()1x yf x f y f xy--=-，令0x y ==得f (0)=0；令x =0得()()f y f y -=-． ∴()f x 在(1,1)-为奇函数，单调减函数且在(1,0)-时，()0f x >，则在（0，1）时()0f x <．又1()12f =-， ∵21111111()()()()()111(1)1111n n f f f f f n n n n n n n n -+===-+-+-+-⋅+，2111111111()()()[()()][()()][()()]511123341111()()1()1211m f f f f f f f f f n n n n f f f n n =+++=-+-++-+-+=-=-->-++L L二、三角函数1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知函数()sin(2)6f x x π=-满足：对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a BC 边上的中线AM 长的取值范围．解（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ∴()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ，当()f x 取得最大值时，22,62x k k πππ-=+∈Z ，即,3x k k ππ=+∈Z ，∴,3A k k ππ=+∈Z ，又∵A 是三角形的内角，即0A π<<，∴3A π=．（2）∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， ①在△ACM 中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， ②又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=，∵2222032b c b c bc +<+-=≤，∴2236b c <+≤，∴23944AM <≤，32AM <≤．2．已知函数2()2cos2xf x x =． （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．3．已知a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，且函数f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数． （1）求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； （2）若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．4．△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r． （1）求角A 的大小；（2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．三、应用题1．如图，有一位于A 处的雷达观测站发现其北偏东45°，相距B 处有 一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+（其中1tan ,0455θθ=︒<<︒）且与观测站A相距海里的C 处．（1）求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2）在离观测站A 的正南方20海里的E 处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由． 解：（1）由题意，AB AC BAC θ==∠=，∵1tan ,0455θθ=︒<<︒，∴cos θ=，由余弦定理，2222cos 8003252125BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅=+-⨯=，即BC =∵该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为∴该船的行驶速度3v ==/小时）．北BA（2）由（1）知，在△ABC中，222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅⋅，sin B = 设BC 延长交AE 于F ，则45,AFB B ACF B θ∠=︒-∠=+，在△AFC 中，由正弦定理sin sin AC AFAFB ACF=∠∠sin()AF B θ=+，又∵sin B B θθ====∴20AF ==（海里）． ∴F 与E 重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．2．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，90C ∠=︒， AB ＝2百米，BC ＝1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA上取点D ，E ，F ，使得EF ‖AB ,EF ED ⊥,在△DEF 喂食， 求△DEF 面积S △DEF 的最大值； （2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．3．某企业有两个生产车间分别在A ，B 两个位置，根据生产流程，A 车间有a 名员工， B 车间有4a 名员工，AC 是厂区的一条直道，已知A ，B ，C 中任意两点间的距离均 有1 km ，现要在直道AC 上找一点D ，修一条直道BD ，并在D 处建一个食堂，使得 所有员工均在此食堂用餐，设∠BDC ＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S ． （1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程S 最少？A BC DE F 图（2）图（1）FE D C BA4．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元， 且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10) ．（1）写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）四、解析几何1．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，左顶点和下顶点分别为A ，B ，F 是椭圆C 1的右焦点．（1）点P 是曲线C 1上位于第二象限的一点，若△APF 的面积为12+AP ⊥OP ； （2）点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点， 且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，证明直线MN 恒过 定点．解（1）设曲线1C 上的点00(,)P x y ，且000,0x y <>，由题意((1,0)A F ，∵△APF的面积为12，∴0111(1222APF S AF y y =⋅⋅=+=△00y x ==，即(P∴(()02222AP OP ⋅=⋅=u u u r u u u r ，∴AP ⊥OP ．（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率为2k ，又两直线都过点(0,1)B -，∴直线BM 的方程为1y kx =-，直线BN 的方程为21y kx =-．由221,22,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得22(12)40k x kx +-=， 解得22224421,1212121M M k k k x y k k k k -==⋅-=+++，即222421(,)2121k k M k k -++．2221,22,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得22(14)40k x kx +-=， 解得22224441,21414141N M k k k x y k k k k -==⋅-=+++，即222441(,)4141k k N k k -++．直线MN 的斜率2222222222224121(41)(21)(41)(21)14121444(21)4(41)24121MNk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+-++===-+-+-++， ∴直线MN 的方程为2222114()21221k ky x k k k --=--++，整理得，112y x k =-+，∴直线MN 恒过定点(0,1)．变题：如图，已知椭圆221:14x C y +=和圆222:1C x y +=，左顶点和下顶点分别为A ，D ，圆C 2与x 轴交于点B 。