初等数论《完全平方数》习题集(1)
一完全平方数
自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 …
二完全平方数的特征
1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如
100 81 64 225 36 169等等。
但有的不是完全平方数，如
200 181 464 325 56 189 等等。
2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。
如22222、12
3 167 38 等等，
3 偶数的平方是4N型的偶数。
个位数字是偶数0、
4 、6，十位数字有奇有偶。
它们只能是
00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96
4 奇数的平方是4N+1型的奇数。
个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。
即只能是
01 21 41 81 09 29 49 69 89
5 尾数为25的数，可能是完全平方数。
如225 625等等，
但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。
6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。
如144=3×48 、121=3×40+1等，
但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。
7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。
数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是
完全平方数。
8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。
如：
7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数
7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数
9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。
如72=49、82=64之间，不
可能有别的平方数。
总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。
实质上只适合判别非完全平方数。
10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇
数。
最直接的方法是质因数分解。
例如144=122=24×32
11 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
12 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
13 完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2
14 p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=29=22+52等等
p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=31≠x2+y2等等
15 两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。
如32+52=34≠y2、92+152=306≠y2等等
15 两个质数的平方和，一定不是完全平方数。
如22+32=13≠x2 、 32+52=34≠y2等等
可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。
17拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。
如 7=22+12+12+12 34=52+32+02+02、 87=72+52+32+22=72+62+12 +12=92+22+12+12 等等
三习题
1在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？
答：2个，即1、9。
解：奇数的平方是4N+1型奇数。
一位数字为奇数的，只有 1、9 。
二位
数字以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。
例如11 11111、
13579、315351 9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。
2下列四个数中：513231121826122530625681有多少个完全平方数。
答：只有625681是完全平方数。
解：根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：
00 04 24 44 64 84、
16 36 56 76 96 25 01 21 41 81 09 29 49 69 89
只有625681 的尾是81，可能是完全平方数。
但还要作充份条件的判别：完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。
最直接的方法是质因数分解。
625681=72×1132，合符充份条件，所以625681是完全平方数
3证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．
奇数为2n+1，则它的平方为4n2+4n+1，显然除以4余1．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111 等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
4证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数
证：
555…550000 的数字和为39*5=195 ，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。
但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。
所以它不可能是完全平方数
5一个自然数X加上60,为一完全平方数。
如果加上43,则为另一完全平方数。
求X。
答：X=21
解：有X+60=A2及X+43=B2，两式相减：A2－B2 = 60－43=17= (A+B)(A-B)=17*1 →(A+B)=17、 (A-B)=1 →2A=18 A=9 → B=8 X= A2－60=81-60=21 或 X= B2－43=64-43=21
6一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
答：X=1981
解：有X－45=A2及 X＋44=B2，两式相减：B2－A2 = 44＋45=89= (B+A)(B-A)=89*1，两因数同奇，有整数解 (B+A)=89、(B-A)=1
→ 2B=90 B=45 B2 =2025 X= B2－44=2025-44=1981
或 A=44 A2 =1936 X= A2＋45=1936+45=1981
7求一个能被180整除的最小完全平方数X2
答：该最小完全平方数是900
解：X2应有因数180与A，即应有X2=180*A 。
180分解后有，X2=62×5×A 完全平方数中各因数的指数都应等于偶数，现在5的指数为1，所以最小取A=5，才合要求。
这样，
X2=62×52 =302 =900
8一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数,
求这样的两位数.
答：这样的两位数是29384756
解：设这样的两位数是AB ，题意AB＋BA＝X2，即10A+B+10B+A= X2
→ 11 (A+B)＝X2，可见A+B应=11 。
若A=2 则B=9 …等等。
检算如下：
A B A B B A A B＋B A 是否是完全平方数
2 9 29 92 121 是11的平方
3 8 38 83 121 是11的平方
4 7 47 74 121 是11的平方
5 6 56 65 121 是11的平方
6 5 65 56 121 重复了
9若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？
答：是X2+2X+1。
解：
X的下一个数是X+1，它的完全平方数是 (X＋1) 2 =X 2+2X+1
例如 42=16 ，4+1=5 52=16+8+1=25
10相邻自然数之差是1。
相邻自然数平方之差是(N+1)2－N2＝2N+1列表N 0 1 2 3 4 5 6 7 100 100000 …( N+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 101 100001 …( N+1)2－N2 1 3 5 7 9 11 13 15 201 200001 2N+1待续。