矩阵特征值的运算性质及推广摘要:本篇论文主要从五方面来进行讲解：引言；矩阵特征值的性质；矩阵特征值的应用推广；分块矩阵的性质；分块矩阵特征值应用推广。

由于本篇论文是要以矩阵特征值性质的应用为主题，首先介绍总结了矩阵的一些基本概念及矩阵基本运算，然后在文中着重阐述了矩阵特征值性质，罗列出相关引理并予以证明,然后通过五种类型的矩阵特征值的应用例子将矩阵特征值的运算性质进行推广。

将矩阵拓展到分块矩阵，讨论分块矩阵的性质及应用.关键词：矩阵，特征值，特征向量，特征方程，特征多项式The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui haiyang(Institute of Computer Science, Math)Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion.Key words：Matrix , Eigenvalue, Eigenvectors, Characteristic equation，Characteristic polynomial1引言矩阵计算领域在不断的发展和成熟，作为一门数学学科，它是众多理工学科重要的数学工具，矩阵理论既是经典数学的基础课程，是数学的一个重要且目前仍然非常活跃的领域，又是一门最有实用价值的数学理论，是计算机科学与工程计算的核心，已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系强有力的工具.计算机科学和工程问题很多都可以转化成矩阵的运算与求解，特别是计算机普及应用为矩阵论的应用开辟了广泛的前景.随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数的知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具.半个多世纪以来，计算机已广泛应用于自然科学和工程技术的各个领域，使得矩阵理论的重要性越来越显著，这是因为用矩阵理论和方法解决现代工程技术中的各种问题，不仅表述简洁，便于进行研究，而且更具有适合计算机处理的特点，电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。

矩阵理论在各学科领域有广泛的应用，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用.目前在高等院校，矩阵论（或称为矩阵分析、矩阵理论、矩阵方法等）已经列为工科研究生的必修课程.但是对本科学生来说，一般只作为选修课程（也有为数不多的院校把它列为必修课），学生学到的矩阵理论知识与方法非常有限，无法适应现代科学技术的飞速发展.本课题引入几种在矩阵的理论和计算方法中有重要应用的特殊的矩阵乘法运算，深入讨论矩阵特征值的研究意义，以及矩阵特征值的应用.2. 矩阵特征值的性质与应用2.1 矩阵特征值的性质设A 是n 阶方阵,如数λ与n 维非零列向量x 使关系式x Ax λ=成立,则称数λ为方阵A 的特征值,x 称为A 的对应于λ的特征向量；()A E f -=λλ称为特征多项式，()0=-=A E f λλ称为特征方程[5].性质1[6] 设A 为n 阶方阵,n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值,则n A λλλ 21⋅=.性质2[6] 方阵A 可逆⇔A 的n 个特征值都不为零.性质3[6] 设λ为方阵A 的特征值，()A ϕ为A 的多项式,则()λϕ为()A ϕ的特征值.性质4[6] λ不为方阵A 的特征值0≠-⇔E A λ.性质5[6] (凯莱—哈密顿定理)设n 阶方阵A 的特征多项式为()n n n n a a a f ++++=--λλλλ111 , 则()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n .性质6[6] 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n λλλ,,,21 ,且n p p p ,,,21 为对应的n 个线性无关的特征向量,记()n p p p P 21=,则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-n AP P λλλ 211性质7[6] 设A 为n 阶实对称阵, n λλλ,,,21 是它的n 个特征值,则(1)当且仅当n λλλ,,,21 都大于零时, A 正定; (2)当且仅当n λλλ,,,21 都小于零时, A 负定;(3)当且仅当n λλλ,,,21 都非负,但至少一个等于零时, A 是半正定; (4)当且仅当n λλλ,,,21 都非正,但至少一个等于零时, A 是半负定; (5)当且仅当n λλλ,,,21 中既有正数,有又负数时, A 是不定的.2. 2 矩阵特征值的应用2. 2. 1 求方阵A 的行列式A 以及A 的多项式()A ϕ的行列式()A ϕ[7]. 例1 已知三阶矩阵A 的特征值为1,-1,2,设()235A A A -=ϕ,求：①A ；②()A ϕ；③E A 5-.解: ①由性质1可得()2211-=⨯-⨯=A ；②因()235A A A -=ϕ,由性质3可知()A ϕ的特征值为()41-=ϕ, ()61-=-ϕ,()122-=ϕ.故()()()()288211-=⋅-⋅=ϕϕϕϕA .③A 的特征多项式为()()()()211-+-=-=λλλλλA E f ,令5=λ,得()()()()7225151555=-+-=-=A E f ，故：()725153-=--=-A E E A .例2 设2=λ是A 的特征值, ()E A A A 232+-=ϕ,求()A ϕ.解: 因2=λ是A 的特征值,既有02=-E A ,故()()()022232=-⋅-=--=+-=E A E A E A E A E A A A ϕ.2. 2. 2 判断方阵A 及KE A -的可逆性[7].例 3 设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=284014013A ,问当k 为何值时，kE A -可逆.解：因()()21228401413)(-+=+-+--=-=λλλλλλλA E f , 故21-=λ,132==λλ为A 的三个特征值,由性质4可知,当2,1-≠k 时,kE A -可逆.例 4 设矩阵A 满足E A =2,证明A E -3可逆.证明：设x Ax λ=,则x x A 22λ=,因E A =2,即有x x 2λ=,即()012=-x λ,而0≠x ,只有012=-λ,于是1±=λ,可知3不是A 的特征值,所以03≠-A E ,即A E -3可逆.2. 2. 3 求方阵A ,A 的逆阵1-A 及A 的k 次幂[7].例 5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,求①3A ;②1-A ;③5A . 解： ①()12101102013+-=--+--=-=λλλλλλλA E f , 由性质5有()023=+-=E A A A f ,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=12023040123E A A ②由()10=f ,可知0不是A 的特征值,由性质2知A 可逆.而2112111332222A E A A E A A E A A A A E A A -=⇒-=⇒⋅-⋅=⋅⇒-=-----,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1101002211A③E A A A E A A A A A E A A 24)2(2222252353-+-=--=⇒-=⇒-=,故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3505806215A 注：用此法可将)3(>k A k 都化作A 的次数小于等于3的多项式,从而简化kA 的计算.例 6 设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321-===λλλ;对应的特征向量依次为()()'--='-='=2,1,2,)1,2,2(,2,2,1321p p p .求k A (k 为大于1的整数).解: 因321,,p p p 线性无关,记()321,,p p p P =,由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∧=-1000000011AP P 所以()111111,------∧=∧∧⋅∧=∧=∧=P P P P P P P P P P A P P A k kk故()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------+-+-+---+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=kkk k kk kkk k k A 14412414214141221421221419121212222191100000001212122221于是当k 为偶数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=82225424591k A ；k 为奇数时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022********k A 注：此法当A 可以对角化时才可使用.例 7 设3阶实对称阵A 的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为()'=1,1,11p ,求A .解：设对应于3的特征向量为()'=321,,x x x x ,因实对称阵的不同特征值下的特征向量正交,即有01='p x ,即x 的分量满足0321=++x x x .又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然0321=++x x x 的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.由0321=++x x x 得它的一个基础解系为()()'-='-=1,0,1,0,1,121p p .令()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==101011111321p p p P ，由性质6有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-3000300061AP P . 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-4111411141P P A .2. 2. 4 求方阵A 的多项式()A ϕ[7].例 8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A ,计算()E A A A A A 4322458-++-=ϕ. 解：()123+-=-=λλλλA E f ，而()()()10372443222458+-+⋅=-++-λλλλλλλλq f ， 显然)103724()()(43222458E A A A q A f E A A A A +-+⋅=-++-. 由性质5可知0)(=A f ，所以()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-=3461061950264831037242E A A A ϕ. 2. 2. 5 判断实对称阵的正定性例 9 设n 阶实对称阵A 正定,则存在矩阵B ,使A B =2,且B 也是正定矩阵.证明: 因A 为实对称阵,故存在正交矩阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=-n AP P λλ 111， 其中),,2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值.因A 正定，故有()n i i ,,2,10 =>λ.于是11111111111-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∧=p P P P p P p P P P A n n n n n λλλλλλλλλλ令11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P B n λλ,故有2B A =,又因211∧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n BP p λλ即B 与对角阵2∧相似，相似矩阵的特征值相同，故n λλ,,1 为B 的n 个特征值，因),,1(0n i i =>λ，由性质7知B 正定.3. 矩阵特征值的推广3. 1 分块矩阵的性质在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明．下面就分块在矩阵特征值问题中的应用进行一些简单的讨论．对普通矩阵作初等变换相当于在矩阵左（或右）乘一个初等矩阵，同理，我们用广义初等矩阵左（或右）乘一分块矩阵，也就相当于对分块矩阵作一次广义行（或列）初等变换．且对矩阵作若干广义初等变换，其秩也不变．性质1 设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,证明AB 的特征多项式)(λAB f 与BA 的特征多项式)(λBA f 有关系:()()λλλλBA mAB n f f =. [11]分析:我们先把上式改写为BAE AB E n m m n -=-λλλλ因为都是抽象矩阵,我们无法把ABE m -λ和BAE n -λ直接算出来,但它们是两个行列式的值,我们就不妨构造出两个矩阵来,使得它们的行列式为AB E m -λ和BA E n -λ,这样,我们构造分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m nE A B E H λ1,要出现行列式ABE m -λ,则我们对H 做初等变换,即左乘一个广义初等分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB E BE E A B E E A E m n m nm n λλλ111对上式求行列式,得到:ABE AB E H m mm -⎪⎭⎫⎝⎛=-=λλλ11(1)同理, H 右乘一个矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m n m n E B BA E E A E E AB E 01101λλλ 两边取行列式得到:BAE H n n-⎪⎭⎫⎝⎛=λλ1 (2)由(1)和(2)命题得证阶引理1 设A 为n 矩阵,则A 为幂等矩阵的充分必要条件是()()n A E A r =+-,E 为n 阶单位矩阵,()A r 表示A 的秩.引理2 幂等矩阵A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rE 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛r E 000相似,()A r r =.性质2 设21,,A A A 均为n 阶方阵,且()()2,1,,,21===+=i r A r r A r A A A i i .若212,r r r A A +==,则21,,A A A 的特征值为1或0,且1的个数和它们的秩相等. 分析:因为给出的矩阵并不是具体的,所以我们考虑用分块矩阵初等变换来解这个题目. [12]证明: (1) A 可逆时,即()n A r =,因为A A =2,所以E A =,又21r r r +=,21A A E +=,由已知得()()()()n A r A r A r A E r =+=+-2111,由引理1得到121A A =,同样,222A A =所以21,A A 是幂等矩阵,由引理2,⎪⎪⎭⎫⎝⎛000~11r E A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2000~2r E A21,,A A A 和E ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001r E ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000r E 有相同的特征值,所以21,,A A A 的特征值为1或0,且特征值1的个数和它们的秩相等.(2) 当()0=A r 时,即0=A ,结论显然成立.(3)设n r <<0,即A 为非零又不可逆矩阵.因为A A =2,故存在可逆矩阵P ,使()A r r P A P P A P AP P =+=---,21111,令⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221121122211211000B B B B A A A A E r这里()()11112111,B A E B P A P A P A P r ij ij +=⇒==--()()()()()r A r A r B r A r B A r r =+≤+≤+=2111111111()()()()211111A r A r B r A r +=+∴()()()()0,0112111≥-≥-B r A r A r A r ,从而()()()()112111,B r A r A r A r == 这样1111B A E r +=,且()r B A r =+1111,由(1)的证明可知,存在可逆矩阵Q ,使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--21000,000111111r r E Q B Q E Q A Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------222112111122211211112221121112221121112111110000000000000000000B Q B B Q Q B Q A Q A A Q Q A Q E QB B B B E Q E Q A A A A E Q E Q P A P E Q E QP A P E Q E r n r n r n r n r n r n r n r n r设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221211211122*********00A G GC C E A Q A A Q Q A Q r因为12212112111000r A G G C C E r r =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以0,02112==C G 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221211211122211211112000B Z ZW E W B Q B B Q Q B Q r同上可得0,01111==W Z ，故0,0,0,011122111====C Z W G又⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22222112111100000001A E A Q A A Q Q A Q r，从而022=A （因为上述矩阵的秩为1r ），同样⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000022*********r E B Q B B Q Q B Q ，及⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--r n E Q P T 001故有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00000000,00000000,0000000212121111r r r r E T A T E T A T E E AT T综上所述，对于n r ≤≤0，结论都成立。