C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y
1
x2
3
= 18 -
3 1 x2dx 3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
计算
问题情境
b
a f ( x)dx 的几何意义是什么？
几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
b
a f (x)dx
1 2
y2)d
y
所围图形
y y2 2x (8, 4)
o
yx4 x
(2, 2)
18
定积分在几何上的应用
y
y y 2 (x)
y 1(x)
oa x b
x
X —型：
a x b
d
y
cx 1( y) o
x 2 ( y)
x
Y —型：
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
几何意义
对于函数值有正有负的连续函数 f ( x)
定积分
b
f (x)dx
a
y
S1
C
d
S3
b
a
S2
x
b
a f ( x)d x S1 S2 S3
热身练习
1.用定积分求下列图形的面积
1
y
y 1 x2
-1
o 1x
求由曲线围成的平面图形面积
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的
跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
-3
点 (3,3)代入方程，得
a 1
于是抛物线方程
3 y
1
x2
3
(3,3)
3米
6米
y
o
3x
-3
(3,3)
情境回归
热身练习
y y sin x
x
0
范例
1、 计算：由曲线 f ( x) x2 ,直线
x 2, x 2和 x 轴所围成的
-2
曲边梯形的面积
解:
S
=-
2 x2dx
2
2 x2dx
2
1 3
x3
2 2
1 23 (2)3 16
3
3
y
oБайду номын сангаас
2
x
f (x) x2
变式
2、如图所示由 y 4和 f ( x) x2所围图形的
1.通过本堂课的学习,你获得了什么数学知识? 定积分解决平面上曲边形面积的问题
一 般
①根据题意画出图形;
步 ②确定积分上下限和被积函数，
骤 写出相应的积分表达式
③计算定积分，得出所求图形
的面积
情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的
跨度为6米, 高为3米，此抛物
3米
线形拱桥的横截面积为多少？
6米
建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
面积是多少？
y
s 解:
S
S - ABCD
曲 边 梯 形ABCD
44 - 16
2
2
x
2dx
A
-2
o
16
3
-4
32
C
3
B
2
x
y 4
D f (x) x2
y
AS
0a
b X0
曲边形
抽象
S1
长方形
面积 S=S1-S2
S2
曲边梯形
例2 求 y x 3 与直线 x 1, x 2 及 x 轴所围成的
如图所示, 一抛物线形拱桥的
跨度为6米, 高为3米，此抛物 线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
-3
点 (3,3)代入方程，得
a 1
于是抛物线方程
3 y
1
x2
3
(3,3)
3米
6米
y
o
3x
-3
(3,3)
情境回归
y
如图所示, 一抛物线形拱桥的 -3 D o
平面图形的面积。
y
解 所围成的图形如图所示：
y x3
则
s
0 1
x
3dx
2 0
x
3dx
17 4
1
0 2x
范例
3.计算由曲线y x2 与 y x所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
y2 x
解方程组y x2得交点横坐标为
x
0
及
x
1
Ｓ Ｓ －Ｓ y y x2 y x
＝ 曲边梯形ＯＡＢＣ
{y
2x
(8,4).
y x4
y2 2x
思考题：
计算由 y2 2x和 y x 4所围图形的面积.
解 先求两曲线的交点。
y x4
y2 2x
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
法二： 的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
此平面图形为Y—型
则有
4
A
2
(
y
4
曲边梯形ＯＡＢＤ
1
B
C
D
-1 O
1A
x
＝ 1 x dx 1 x 2 dx
0
0
-1
＝
2
3
x2
1
1
x3
1＝
2
1
＝1
3
3
0
033
3
y
A
0a
bX
曲边形
提升
1
a
b
A2
a
b
曲边梯形
面积 A=A1-A2
巩固练习
例3计算由 y 2x 和 y x 4及 x 轴所围图形
的面积.
解 先求两曲线的交点。
y x4