= e 2t ε (−t ) + e−2t ε (t ) ← → e2t ε (−t ) ← →
注
意是双边拉氏变换
−1 ， Re[ s ] < 2 s−2
U R ( s) = X ( s) H (s ) = −1 < Re[ s ] < 2
−4 1 1 1 4 1 1 × =− × + × − ( s − 2)( s + 2) s + 1 3 s − 2 3 s +1 s + 2 1 4 u R (t ) = e 2t ε (−t ) + e −t ε (t ) − e −2t ε (t ) 3 3
e−2t ε (t ) ∗ [e − t ε (t )] = (e − t − e−2t )ε (t )
其它解法 其它解法： 解法：拉氏变换法 拉氏变换法
x(t ) = e
−2 t
1 4 u R (t ) = e 2t ε (−t ) + e −t ε (t ) − e −2t ε (t ) 3 3 −1 1 −4 + = ， − 2 < Re[ s ] < 2 s − 2 s + 2 ( s − 2)( s + 2)
−s −2 s 1 2 −t −2 t 1 2 zi1 −t −2 t 1 2 zi 2 −t 1 2 1 2 zs −t 1 2 1 zi1 zi 2 zs −t zs zi1 zi 2
= (2 + e − t )ε (t ) − (e− t + e−2t )ε (t ) − (e − t − e−2t )ε (t ) = (2 − e − t )ε (t )
zs
取逆变换得
取逆变换得
−1
1− a 七、 （10 分）已知 X ( z) = (1 − az ， a < z < a ，求序列 x(n) 。 )(1 − az )
2 −1
1− a 解： X ( z) = (1 − az )(1 − az
2
−1
= )
−z z + 1 z−a z− a
根据 a 的取值范围及收敛域
根据零输入响应的齐次性、可加性，零状态响应的齐次性，可得
y (t ) = − y zi1 (t ) − 2 yzi 2 (t ) + 2 yzs (t ) = −(e −t + e −2t )ε (t ) + 2(e − t − e −2t )ε (t ) + 2(2 − e− t )ε (t ) = (4 − e − t − 3e −2t )ε (t )
Yzs ( z ) − az −1Yzs ( z ) = bX ( z )
n
H ( z) =
Yzs ( z ) b bz = = −1 X ( z ) 1 − az z−a
取逆变换得 h(n) = b(a) ε (n) 故知该滤波器单位冲激响应无限长，即 IIR 滤波器。 九、 （10 分）写出下图所示网络的状态方程和输出方程。图中 R = 1Ω，L = 1H，C = 2F 。
（）
1 ( z ) − z −1Yzs ( z ) = X ( z ) 3 z 1 zs h ( n) = ( ) n ε ( n) 1 3 1 + z −1 z − 3 3 Y ( z) z 1 2 Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) X ( z ) = zs = x ( n) = ( ) n ε ( n) 1 H ( z) z − 2 2
六、 （10 分）已知某一系统的差分方程 y(n) − 1 y (n − 1) = x(n) 3 （1）求其单位响应 h(n) ；
（2）若系统处于零状态初始状态，其响应为 y(n) = [3( 1 ) 2 x (n) 。
n
1 − 2( ) n ]ε (n) 3
，求其激励信号
解： （1）对方程取 z 变换，得 Y 1 故 H ( z) = YX ((zz)) = 1 =
0 0 n =−∞
∞
故知该系统不是时不变系统。
（3） 2δ (t ) = 0.5δ (2t ) （ × ） δ (2t ) = 0.5δ (t ) （ √ ） （4）连续时间系统稳定的条件是，系统函数 H (s) 的极点应位于 s 平面的右半平面。 （× ） （5）离散时间系统的频率响应 H (e ) 为 H ( z) 在单位圆上的 z 变换。 （ √ ） （6）离散系统的频Байду номын сангаас响应 H (e ) 为单位样值响应 h(n) 的傅里叶变换。 （ √ ）
0 0 −t 1 2 1 2 1 2
h1 (t )
x(t )
+
h1 (t )
+
∑
h2 (t )
−
t
y1(t)
−τ
x(t )
∑
h2 (t )
−t
+
y2 (t )
解： （1） y(t ) = x(t ) ∗ h(t ) = [∫ e dτ ]ε (t ) = (1 − e （2）设左图系统的冲激响应为 h (t ) ，则
1 1 由时域积分性质 x(t ) ←→ 1 [1 − e + e ] s s s 五、 （10 分）一线性时不变系统有两个初始条件： x (0)和x (0) 。若 （1） x (0) = 1，x (0)=0 时，其零输入响应为 y (t ) = (e + e )ε (t ) ； （2） x (0) = 0，x (0)=1 时， 其零输入响应为 y (t ) = −(e − e )ε (t ) ， 已知激励为 f (t ) ， x (0) = 1 ，x (0)= − 1 时，其全响应为 (2 + e )ε (t ) ，试求激励为 2 f (t ) ， x (0) = −1 ，x (0)= − 2 时的全响应 y (t ) 。 解：设仅由输入 f (t ) 引起的零状态响应为 y (t ) 根据（1） （2） ，已知激励为 f (t ) ， x (0) = 1 ，x (0)= − 1 时全响应 y (t ) = y (t ) − y (t ) + y (t ) = (2 + e )ε (t ) 故 y (t ) = (2 + e )ε (t ) − y (t ) + y (t ) 1 1 x′(t ) ←→ 1 − e − s + e −2 s s s
∞ n =−∞
注：设 x (t ) → y (t ) = ∑ x (t )δ (t − nT )
∞ 1 1 1 n =−∞ ∞
x2 (t ) → y2 (t ) =
∑ x (t )δ (t − nT )
2 n =−∞ 1 2
∞
x3 (t ) = ax1 (t ) + bx2 (t ) → y3 (t ) =
其中
t e2τ e − (t −τ ) dτ , t < 0 1 1 ∫−∞ e2t ε (−t ) ∗ [e− t ε (t )] = 0 = e 2 t ε ( − t ) + e − t ε (t ) 3 ∫ e 2τ e − (t −τ ) dτ , t > 0 3 −∞
∑ [ax (t ) + bx (t )]δ (t − nT ) = ay (t ) + by (t )
1 2 n =−∞
故知系统是线性系统。
∞
x4 (t ) = x(t − t0 ) → y4 (t ) =
∑
n =−∞
x4 (t )δ (t − nT ) =
∑ x(t − t )δ (t − nT ) ≠ y(t − t )
t
−∞
eτ ε (−τ )dτ
当 t < 0 时， y (t ) = ∫ e dτ = e 当 t ≥ 0 时， y (t ) = ∫ e dτ = 1 故 y (t ) = e ε (−t ) + ε (t ) 设右图系统的冲激响应为 h (t ) ，则
t
τ
t
1
−∞
0
τ
1
−∞
t
1
b
hb (t ) = h1 (t ) + h2 (t ) = 0.5[h(t ) + h(−t )] + 0.5[h(t ) − h(−t )] = h(t )
jω jω
（7）若系统的单位采样响应绝对可和，即 ∑ h(n) < ∞ ，即该系统是稳定系统。 （ √ ）
∞
n =−∞
（8）若 t < 0 时，有 f (t ) = 0 ， t ≥ 0 时，有 f (t ) ≠ 0 ，则 f (t ) 称为因果信号。 （ √ ） （9）单位冲激激励 δ (t ) 在零状态系统中产生的响应为单位冲激响应。 （ √ ） （10） 频域的传输函数定义为系统响应的傅里叶变换与系统激励的傅里叶变换之比。 （√ ） （11） s 域系统函数定义为零状态响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比。 （ √ ） （12）仅由系统初始状态（初始条件）产生的响应叫零状态响应。 （ × ） （13）离散系统稳定的充分必要条件还可表示为 lim h(n) = 0 。 （× ） （14） z 域系统函数定义为零状态响应的 z 变换与激励的 z 变换之比。 （ √ ） （15）两个有限长序列，第一个序列长度为 5 个点，第二个序列长度为 6 个点，为使两个序 列的线性卷积与循环卷积相等，则第一个序列最少应该为 6 个零点。 （ × ）第二个序列
a < z < a −1
，可判断分式
z 函数， z − 对应因果序列对应的象函数，所以 a 1 x(n) = ( ) n ε (− n − 1) + a nε (n) a
−z 1 z− a
属于反因果序列对应的象