(k ) (k i )
i 0



r (k ) h(k i ) r (k ) h(i)
i 0 i 0 k

(k ) (i)
i 0
k
对于因果系统：
r (k ) h(k i ) (k i )
i 0
k i 0, 即i k时 (k i) 0
第七章第3讲 1
等效初始条件法

前向差分方程的情况
对于3阶前向差分方程
其响应记为h0(k)，则： a3h0 (k 3) a2 h0 (k 2) a1h0 (k 1) a0 h0 (k ) (k )
对于k>0时，由于(k)=0，因而上式为
a3 y(k 3) a2 y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k ) (k )

h0 (0) 1 a3
对于n阶后向差分方程的初始值
h0 (1) h0 (2) h0 (n 1) 0
h0 (0)
单位函数响应
h0 (k ) ( Ci i ) (k )
k i 1
n
1 an
n个常数Ci可由以上n个初始值确定。
第七章第3讲 4
转移算子法
r (k ) h(k i )
i 0
k
第七章第3讲
11
例
3
k ) ] (k ) ，求单位函数响应。 已知阶跃响应为 r (k ) 6[1 0.5( 1 2
解：单位函数响应为
h(k ) r (k ) r (k 1)
k 1 k 1 6 [1 0.5( 1 ) ] ( k ) 6 [ 1 0 . 5 ( ] (k 1) 2 2)
k k k
h(k ) ( K11 K 22 K n n ) (k )
当nm时：将H(q)化为有理式
H ( q ) H1 ( q )

N1 (q) D(q )
再按部分分式展开。
单位函数响应还可以用Z变换的方法求取，详见第八章。
第七章第3讲 5
例
1
方法一：等效初始条件法
k 2
2 1 3
k 2
] (k ) 6 (k )
k 1 k 6 (k ) [9( 1 ) 16 ( 2 3 ) ] (k )
可见，与(2)式相同。
第七章第3讲 8
例
2
方法一：等效初始条件法
已知系统的差分方程为 y(k 2) 5 y(k 1) 6 y(k ) f (k 2) 3 f (k ) 试求系统的单位函数响应h(k)。
令k=0 时，有 a3h0 (3) a2 h0 (2) a1h0 (1) a0 h0 (0) (0) 1 h0 (3) 故得等效初始值： h0(1)=h0(2)=0,
h0 (3) 1 a3 1 a3
第七章第3讲
2
等效初始条件法

前向差分方程的情况
1 an
对于n阶前向差分方程的初始值 h0 (1) h0 (2) h0 (n 1) 0
6
等效初始条件： h0 (0) 1, h0 (1) 0 将初始条件代入原方程，得：C1+C2=1 2C1+3C2=0 解得： C1=3，C2=-2
系统的单位函数响应为 h(k ) h0 (k ) h0 (k 2)
1 k h0 (k ) [3 2 3 ] (k ) 1 k 2
k 1
2 ] (k 1)
k 1
第七章第3讲
9
例
2
方法二：转移算子法
已知系统的差分方程为 y(k 2) 5 y(k 1) 6 y(k ) f (k 2) 3 f (k )
试求系统的单位函数响应h(k)。 解：
q2 3 5q 9 1 6 H (q) 2 1 1 q 5q 6 (q 2)( q 3) q 2 q 3
k 1 k h(k ) 6 (k ) [9( 1 ) 16 ( 2 3 ) ] ( k )
(1)
(2)

可以证明两个表达式是相同的，证明如下： 由于 (k 2) (k ) (k ) (k 1) 由(1)式：
][ (k ) (k ) (k 1)]
解：先只考虑(k)的作用： h0 (k 2) 5h0 (k 1) 6h0 (k ) (k ) k k 特征根： 1 3, 2 2 h0 (k ) [C1 3 C2 2 ] (k 1) 等效初始条件： h0 (1) 0, h0 (2) 1 将初始条件代入原方程, 得：3C1+2C2=0， 9C1+4C2=1 解得: C1=½，C2=-½
第七章第3讲
3
等效初始条件法

后向差分方程的情况
对于3阶后向差分方程
a3 y(k ) a2 y(k 1) a1 y(k 2) a0 y(k 3) (k )
其响应记为h0(k)，则： a3h0 (k ) a2 h0 (k 1) a1h0 (k 2) a0 h0 (k 3) (k ) 令k=0 时，有 a3h0 (0) a2 h0 (1) a1h0 (2) a0 h0 (3) (0) 1 1 h0 (0) a3 故得等效初始值： h0(-1)=h0(-2)=0,
h0 (k ) ( Ci i ) (k 1)
k i 1 n
h0 (n)
单位函数响应
n个常数Ci可由以上n个初始值确定。 再根据线性系统的时不变特性： (k) A ((k-n k-i
线性非时变 离散系统 （零状态）
h0Ah k0 )(k-i h ((k-n ) ) 0
用部分分式法展开
H (q) 6
9q 16q 1 q 2 q1 3
系统的单位函数响应为
k 1 k h(k ) 6 (k ) [9( 1 ) 16 ( 2 3 ) ] (k )
第七章第3讲
7
序列表达式的讨论

例1中两种方法求出的h(k)是否相同？ k 1 k 1 k 2 1 k 2 ] (k 2) h(k ) [3 1 2 ] ( k ) [ 3 2 2 3 2 3
解：阶跃响应为
1 k 1 k 1 k k i r (k ) h(k i) (k i) (2) (3) k i 6 i 0 2 i 0 3 i 0 i 0
k 1 k 6 [1 0.5( 1 ) ] ( k ) 6 [ 1 ( 2 2 ) ] ( k ) k 3( 1 ) 2 (k )
第七章第3讲
12
例
4
k k 1 ( k ) 0 . 5 ( 2 ) ( 3 ) ] (k ) ， 已知单位函数响应 h(k ) [ 1 6 3 求阶跃响应。

对于n阶系统（无重根情况） 当n>m时：
H (q) N (q) N (q) N (q) n q D(q) q an 1q n 1 a1q a0 (q 1 )( q 2 ) (q n )
qK n qK1 qK 2 q 1 q 2 q n
k 2
[3 1 2
2 1 3
k 2
] (k 2) [3 1 2
k 2
2 1 3
k 2
[3 1 2
k k
k 2
2 1 3
k 2
] (k ) 6 (k ) 0 (k 1)
1 1 h(k ) [3 1 2 3 2 3 2
§4 单位函数(冲激)响应

单位函数响应 输入信号为单位函数(k)时系统的零状态响应，称为 单位函数响应。用表示h(k)。 迭代法： 差分方程为： y(k)-ay(k-1)-by(k-2)= (k) 单位函数响应： h(k)=ah(k-1)+bh(k-2)+(k) h(0)=ah(-1)+bh(-2)+(0)=1 h(1)=ah(0)+bh(-1)+(1)=a h(2)=ah(1)+bh(0)+(2)= a2+b 用计算机计算十分方便，容易编程。但得不到解析式。
a3h0 (k 3) a2 h0 (k 2) a1h0 (k 1) a0 h0 (k ) 0
就是说，对于k>0，单位函数响应h0(k)是一个特殊的零输入响应。需要三个 初始条件。 a3h0 (0) a2 h0 (1) a1h0 (2) a0 h0 (3) (3) 0 令k=-3时，有 由于是因果系统，即在单位函数信号未作用之前不会有响应，h0(0)=0 令k=-2时，有 a3h0 (1) a2 h0 (0) a1h0 (1) a0 h0 (2) (2) 0 h0(1)=0 令k=-1时，有 a3h0 (2) a2 h0 (1) a1h0 (0) a0 h0 (1) (1) 0 h0(2)=0
6
6
2
2
1 3
1 h0 (k ) C1 1 C 2 3 2 k
6
k
2 1 1 [3 1 2 3 ] (k ) [3 2
k k
k 2
2 1 3
k 2
] (k 2)
6
第七章第3讲例ຫໍສະໝຸດ 1方法二：转移算子法
6 6
已知系统的差分方程为 y(k ) 5 y(k 1) 1 y(k 2) (k ) (k 2)
k k k 1 k 1