应从0到的一段弧
解
(6) 其中是从点(111)到点(234)的
一段直线
解的参数方程为x1tｙ12tz１3tt从0变到１
(７） 其中为有向闭折线ＡBＣA这里的AＢC
依次为点(100)(01０)(001)
解AＢBCCA其中
ABxxy1xz0x从1变到0
ＢCx0y1zzｚz从0变到1
ＣAｘxy０z1xx从0变到1
故
(8） 其中L是抛物线ｙx2上从(1１)
到(１1)的一段弧
解Lｘxｙx２x从1变到1故
4计算 其中L是
(1)抛物线yｘ２上从点(11)到点(42）的一段弧
解Ｌxy2yyy从１变到２故
(２)从点（1１)到点(42）的直线段
解Lｘ3y2ｙyy从１变到2故
（3)先沿直线从点（1１)到(１2)然后再沿直线到点（42）的折线
解曲线上任一点的切向量为
(12ｔ3t２）(1２x3y)
单位切向量为
－高等数学同济大学第六版本
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
习题10２
1设L为xＯy面内直线xa上的一段证明
证明设L是直线xa上由(aｂ1)到(ab２)的一段
则Lxaｙｔt从b1变到b２于是
解LL1L2其中
L１x1yyy从1变到２L2x Nhomakorabeay2x从1变到4
故
(4)沿曲线x2t２ｔ1yt21上从点(11）到（４2)的一段弧
解Lx2t２ｔ1yt21t从0变到1故
5一力场由沿横轴正方向的常力Ｆ所构成试求当一质量为m
的质点沿圆周ｘ2ｙ2Ｒ2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时
场力所作的功
解已知场力为F（|Ｆ|0）曲线L的参数方程为
解LL1Ｌ2其中
Ｌ1xaａcｏstyａsｉntt从0变到
Ｌ2xｘy０x从０变到2a
因此
（3) 其中Ｌ为圆周xＲcｏｓtｙRsｉnt上对应ｔ从0到
的一段弧
解
(4） 其中L为圆周x2ｙ２a２(按逆时针方向绕行)
解圆周的参数方程为xaｃostyaｓｉntt从0变到２所以
(5） 其中为曲线xkｙａcｏｓzaｓiｎ上对
2.设Ｌ为ｘOy面内x轴上从点（a0)到(ｂ0)的一段直线
证明
证明Ｌxxｙ0t从a变到ｂ所以
３计算下列对坐标的曲线积分
（1) 其中L是抛物线yx２上从点(0０）到点(2４)
的一段弧
解Ｌyx2x从０变到2所以
(2) 其中L为圆周(xａ)2y2a2(a0）及ｘ轴所围成的在第
一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）
xRcosyRsin
从０变到 于是场力所作的功为
6设z轴与力方向一致求质量为m的质点从位置（x1ｙ1z１)
沿直线移到（x2y2z２)时重力作的功
解已知F(００mg)设为从（x1y1z１)到(x２y2ｚ2)的直线
则重力所作的功为
7把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线
积分其中L为
（1)在xOy面内沿直线从点(0０)到(1１）
解L的方向余弦
故
（２)沿抛物线ｙx2从点(００）到(１1)
解曲线L上点(xy）处的切向量为(12x)单位切向量为
故
(3)沿上半圆周x２y22ｘ从点(０0)到(1１）
解L的方程为 其上任一点的切向量为
单位切向量为
故
8设为曲线xtyt2zt3上相应于t从0变到１的曲线弧
把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分