d
d
显然为了确定检测阈值，参数 p 必须估计。为表示方便，令 Ki =−ln(1− pi ) 。因为，x(i) / x( j)
是 [ln(1 − pi ) / ln(1 − p j )]1 / p = ( K i / K j )1 / p 的一个估计，所以参数 p 可以用下式估计：
pˆ = ln( K i / K j ) / ln( x(i ) / x( j ) )
-1-

weibull杂波分布的概率密度函数
0.6
p=0.5
p=1
0.5
p=1.5
p=2
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
x
图 1 韦布尔分布不同形状参数对应的概率密度(pdf)曲线
3 韦布尔分布形状参数的估计方法
下面就基于参考滑窗随机变量期望和中值的统计特征、基于参考滑窗的两个有序采样 x(i)和 x(j)和基于最优线性无偏估计(MLH)准则的这三种形状参数估计方法讨论。
仿真条件：假设该韦布尔杂波的参数为，形状参数 p=1.2 ，尺度参数 q=2 。仿真次数 50 次，分别用三种方法对其形状参数进行估计。主要从估计值和准确值的偏差和估计标准差两
个角度去衡量。三种估计方法的性能比较如下图 2 所示：
形状参数p 形状参数p的估计方差
1.7
1
c-actual
c-mtm
1.6
而我们容易得到 P fa
=
1
−
F
(S
ideal
)
，于是一个理想的
CFAR
检测器具有阈值
S
ideal
=
F −1 (1 −
， P ) fa
-2-

其中 F −1 (⋅) 是 F (⋅) 的反函数。对于韦布尔分布有
F −1 ( p ) = q[ − ln(1 − p )]1 / p
1998,34,pp806-807 [7] Rohling H. Radar CFAR thresholding in clutter and multiple target situations. IEEE Trans. on AES, 1983,
19(3):608-621 [8] Rickard J T, Dillard G M. Adaptive detection algorithms for multiple target situations. IEEE Trans. on AES,
本文就基于参考滑窗随机变量期望和中值的统计特征、基于参考滑窗的两个有序采样 x(i)和 x(j)和基于最优线性无偏估计(MLH)准则的三种形状参数估计方法作了讨论，比较了其 估计的性能，并给出了对检测性能的影响分析。
2．韦布尔分布数学模型
韦布尔分布的动态范围介于对数正态分布和瑞利分布之间，能在更宽广范围内精确表示 实际的杂波分布，通常在高分辨雷达低入射角情况下一般海情的海浪杂波和地物杂波都可以 用韦布尔分布描述，韦布尔分布的概率密度函数为：
1977, 13(4):338-343 [9] Gandhi P P, Kassam S A. Analysis of CFAR processors in homogeneous background. IEEE Trans. on AES,
1988, 24(4):427-445 [10] Goldstein G B. False alarm regulation in log-normal and weibull clutter. IEEE Trans. on AES, 1973,
3.1 基于参考滑窗随机变量期望和中值统计特征的估计方法（MTM）
从韦布尔分布的 pdf 式推出韦布尔分布的期望和中值计算如下：
E(X ) =
q Γ (1 +
1 )
p
M ( X ) = q (ln 2)1/ p
我们可以从有序统计序列中获得期望和中值的估计值如下：
Eˆ
(
X
)=
1 N−
I
N −I ∑
i=1
qˆ = x ( j )[ − ln(1 − p
− )]
1
/
pˆ
=
x( j)K
−1 / pˆ
j
j
3.3 基于基于最优线性无偏估计(MLH)准则的估计方法（BLUE）
通常引入变量 Y =ln X 会使估计过程很方便，这可以在包络检波后插入对放大器得到。对
β=1
数的底数可以任意，现设为自然对数。且令α = ln q ， p ，因此 pdf 表达式可以变为：
f
(x)
=
(
x q
)
p −1 (
p q
)
exp(−(
x q
)
p
),
x
>
0,
p
>
0, q
>
0
式中 p 和 q 分别表示韦布尔分布的形状参数和尺度参数。值得指出的是，当形状参数 1 时，韦布尔分布退化为指数分布；当形状参数 p = 2 时，韦布尔分布退化为瑞利分布。随着 形状参数 p 的减小，概率密度分布的拖尾变长，如图 1 所示（ q = 2 ）[1][2]。
Skeness. IEEE Trans. on AES, 1985,21(6):819-821 [6] G.de Miguel Vela，Probability of false alarm of CA-CFAR detector in Weibull clutter. Electronics Letters,
c-mtm
c-bule
0.8
c-bule c-ostwo
1.5
c-ostwo
1.4
0.6
1.3
0.4
1.2
0.2 1.1
1
0
10
20
30

40
50
仿真迭代次数
(a)形状参数 p 估计与真实值比较
0 0 10 20 30 40 50 60
估计的次数
(b) 形状参数 p 估计的均方差比较
图 2 三种估计方法性能比较
Pfa
=
⎡ ⎢
⎧ ⎨T
c
⎣⎢ ⎩
⎛ ⎜ ⎝
Τ
(
1 c
+ 1)
+
⎡⎢⎣1 −
Γ(1 c
+
1)
⎤ ⎥⎦
1 Nc
⎞⎫ ⎟⎬ / ⎠⎭
N
⎤−N + 1⎥
⎦⎥
即可得到检测门限因子 T[6][7][9]，具体处理下图所示。
ca-weibull
1
known p
0.9
estimate p-mtm
0.8
estiamte p-blue
5．结论
在雷达的恒虚警检测中，当杂波环境为两参数的韦布尔分布时，能否准确估计其形状参 数，对确定检测门限，以及进而对检测性能等的关系。本文分析了三种估计韦布尔参数的估 计方法，分析比较了其估计的准确性，进而分析了其对检测性能的影响。从本文的仿真可以 看出，三种方法各具优缺点和应用背景，具体的选择视应用场合而定。

雷达中韦布尔分布杂波的参数估计问题
成芳，韩春林
电子科技大学电子工程学院，成都（610054）
E-mail：chfzw@
摘 要：韦布尔杂波模型通常用来模拟雷达工作环境海杂波。韦布尔分布是两参数分布。其 中,一个参数是反映杂波平均功率的尺度参数,另一个是反映分布偏斜度的形状参数。实际上， 一般人们很难事先知道形状参数 P 的确切值。因此，在自适应检测中通常必须实时估计形状 参数 P，因为很多情况下的门限值都与该参数有关。为了能基本保持恒虚警率恒定并同时在 一定的条件下获得高的检测概率，对形状参数 P 的估计必须使用一种好的估计方法。本文就 基于参考滑窗随机变量对三种形状参数估计方法作了讨论，比较了其估计的性能，并给出了 对检测性能的影响分析。 关键词：韦布尔；恒虚警率；形状参数；估计 中图分类号：TN95
500 次 Monte-Carlo 实验的结果。 单元平均恒虚警检测中，总的杂波功率水平通过由 N 个参考单元采样的均值来估计。
为了便于计算，通常把 1/N 归入标称化因子 T 中，因此有
∑ ∑ X
=
1 N
⎛ N /2
⎜ ⎝
i =1
xi
+
N i= N / 2+1
xi
⎞ ⎟ ⎠
X 称为总杂波功率水平估计，文献[1]给出了检测概率与标称化因子的关系
-4-

参考文献
[1] 曹晨,王小谟. 关于雷达杂波性质研究的若干问题. 2001,23(5):1-5. [2] 蒋咏梅,陆铮. 相关非高斯分布杂波的建模与仿真. 系统工程与电子技术,1999, 21(10):27-30 [3] 何友，关键，彭应宁. 雷达自动检测与恒虚警处理. 北京：清华大学出版社，1999. [4] 何友,Rohling H.有序统计恒虚警检测器在韦布尔干扰背景中的性能分析.电子学报, 1995,23(1):79-84 [5] Weber P, Haykin S. Ordered Statistic CFAR Processing for Two Parameter Distribution with Variable
1
Mˆ ( X ) Eˆ ( X )
=
(ln 2) pˆ Γ (1 + 1
)
=
F
(
pˆ )
pˆ
pˆ
=
F
−
1
(
Mˆ Eˆ
(x) (x)
)
可由上式得到形状参数 p 的估计值，然后用所得的估计值 pˆ 代入方程中计算出标称化因