第十二讲 立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，2） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm n m ⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m//则α⊥a3） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当θ为锐角时，n m nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解1.在正三棱柱111ABC A B C-中，若12,AB BB=求1AB与BC1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设O为CB1、BC1的交点，D AC为的中点，则所求角是DOB∠。

设1,2BB a AB a==则，于是在DOB∆中，122211336,2,222213,,2OB BC a BD a aOD AB a BD OB OD=======+即90,DOB∠=︒∴︒=∠90DOB法二：取11A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyzO-AB21的长度单位，则由12AB BB =有()()()()()()111111110,1,2,0,1,2,0,1,0,3,0,00,2,2,3,1,2,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴=-=-⋅=-=∴⊥2.如图二所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90,//,,2,BAD AD BC AB BC a AD a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

⑴若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥； ⑵求异面直线,AE CD 所成角的大小。

解 ：⑴证明：PA ABCD ⊥底面，PA AB ∴⊥，再由AB AD ⊥,得,,,AB PAD AB PD AE PD PD ABE BE PD⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥平面又平面故⑵如图三所示设,G H 分别为,ED AD 的中点，连结,,BH HG BG 。

DHCB 为平行四边形，//,,BH CD G H ∴分别为,ED AD 的中点，//,FG AE ∴则BHG ∠或它的补角就是异面直线,AE CD 所成角，而2211.222HG AE a BH AB AH a ===+=。

2222222411a EG AE AB EG BE BG =++=+=在BHG ∆中，由余弦定理可得22222cos ,arccos 244BH HG BG BHG BHG BH HG π+-∠==-∴∠=-⋅422cos 222-=⋅-+=∠HG BH BG HG BH BHG 42arccos -=∠∴πBHG所以，异面直线,AE CD 所成角的大小为2arccos。

法二：以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()330,,,0,,0,0,2,0,0,,,,,02222a a E C a D a AE a CD a a ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()(),0,2,0,0,,0,23,2,0aDaCaaE⎪⎪⎭⎫⎝⎛(),0,,,23,2,0aaCDaaAE-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴2cos,4CD AECD AECD AE⋅∴==，所以，异面直线,AE CD所成角的大小为2arccos4。

3.已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA ABCD⊥平面，1,2,,AP AD AB E F===分别是,AB PD的中点。

⑴求证：//AF PEC平面；⑵求PC与平面ABCD所成角的大小；⑶求二面角P EC D--的大小。

解析：法一：⑴如图四所示，取PC的中点O，连接1,//,,//2OF OE FO DC FO DC FO AE∴=∴又因为,E AB AB DC FO AE=∴=是的中点，且所以四边形AEOF是平行四边形，//AF OE∴。

又,OE PEC AF PEC⊂⊄平面平面，//AF PEC∴平面。

⑵连结,,AC PA ABCD PCA PC ABCD⊥∴∠平面是直线与平面所成的角。

在5tan55PARt PAC PACAC∆∠===中，。

5551tan,===∠∆ACPAPCAPACRt中即PC ABCD直线与平面所成角的大小为5arctan5。

⑶作,AM CE CE⊥交延长线于,M PM连结。

由三垂线定理，得.PM CE PMA⊥∴∠是二面角P EC D--的平面角。

由2,tan2222AME CBE AM PMA∆∆=∴∠==可得2221tan,22,==∠∴=∆∝∆PMAAMCBEAME可得所以，二面角P EC D--的大小为2。

法二：以A为原点，如图五所示，建立直角坐标系。

则()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,,,1,0,0,0,0,122A B C D F E P⎛⎫⎪⎝⎭。

⑴取PC的中点O，连结111111,1,,,0,,,0,,,222222OE O AF EO⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭//AF EO∴=∴又,OE PEC AF PEC⊂⊄平面平面，//AF PEC∴平面。

⑵由题意可得()2,1,1PC=-，设平面ABCD的一个法向量是()0,0,1PA=-。

6cos,PA PCPA PCPA PC⋅==即PC ABCD直线与平面所成角的大小为6arcsin6。

⑶设平面PEC的一个法向量为()()(),,.1,0,1,1,1,0m x y z PE EC==-=则()0,01,1,1,10.m PE x zz mx ym EC⎧⋅=-=⎧⎪=-=--⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩可得令则由⑵可得平面ABCD的一个法向量是()0,0,1PA=-。

3cos ,3mPA m PA m PA===。

所以，二面角P EC D --的大小为3arccos3。

4.（07）如图六所示正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，1D CC 为的中点。

⑴求证：11AB A BD ⊥平面 ⑵求二面角1A A D B --的大小。

解析：⑴取BC 中点O ，连结AO 。

因为ABC ∆是正三角形，AO BC ∴⊥因为在正三棱柱111ABC A B C -，平面11ABC BCC B ⊥平面11AO BCC B ∴⊥平面。

连结O B 1在正方形C C BB 11中，O ，D 分别为1,CC BC 的中点。

BD O B ⊥∴1BDAO⊥1AOBBD平面⊥∴BDAB⊥∴1在正方形11AABB中，BAAB11⊥∴11AB A BD⊥平面取111B C O的中点，以O为原点，1,,OB OO OA的方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。

则()()((()111,0,0,1,1,0,3,3,1,2,0B D A A B-()()(11111111111,2,3,2,1,0,1,3220,1430,,AB BD BAAB BD AB BAAB BD AB BA AB A BD∴=-=-=-=-+==-+-=∴⊥⊥∴⊥平面⑵设平面1A AD的法向量为(),,n x y z=()()111,1,3,0,2,0,,AD AA n AD n AA=--=⊥⊥。

10,30,2030.yn AD x y zy x zn AA⎧=⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨⎨==⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令()1,3,0,1z n=∴=-为平面1A AD的一个法向量。

由⑴知，1111AB A BD AB A BD⊥∴，为平面的法向量111336cos,222n ABn ABn AB⋅--===⋅所以，二面角1A A D B --的大小6arccos 4。

直接法设1AB 与B A 1交于G ，在平面BD A 1中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF由（1）得11AB A BD ⊥平面D A AF 1⊥∴AFG ∠∴是二面角1A A D B --的平面角。

在D AA 1∆中由等面积可求得554=AF 又2211==AB AG 4105542sin ===∠∴AF AG AFG 所以，二面角1A A D B --的大小为410arcsin 。