x
☞累计回报表：
方案一
方案二 方案三
1 2 回报 天数 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案 方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
方案三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
投资天数、回报金额
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数 描述这些数量关系？ 解:设第x天所得回报是 y元，则
方案一： y40(xN);
方案二： y10x(xN*); 方案三： y0.42x1(xN).
上述的三个数学模型,第一个是常数函数, 另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方 案作出选择？
55
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
80
105 130 155
y 4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151
关于x呈指数型函数变化的变量是
y2
。
1.005
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售 利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖 金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加 而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超 过 利 润 的 25%. 现 有 三 个 奖 励 模 型 ： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中 哪个模 型能 符合公司的要求？
结论: ①投资1~6天,应选择方案一; ②投资7天,应选择方案一或二; ③投资8~10天,应选择方案二; ④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的 过程,建立函数模型的程序大概如下：
实际应用问题
审题 (设)
分析、联想 抽象、转化
还原 (答)
数学化 (列)
生态故事：“一群兔子引发的危机”
一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候 适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型 曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述 一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数 变化剧烈。
本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的 实质是什么？
y=0.25x ·············一次函数模型
y=log7 x +1,·············对数函数模型 y=1.002x ·············指数函数模型
实质:分析三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增 长情况．
领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，
75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大
降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他
们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采
用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口
气．
寻找解题思路
解答数学问题
(解)
构建数学模型
1、四个变量 y1,y2,y3,y4随变量 x变化的数据如下表：
x0 5
10
15
20
25
30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y 2 5 94.478 1758.2 33733 6.37105 1.2107 2.28108
y 3 5 30
【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比 前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？
在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数 描述这些数量关系？
的指数函数模 型比线性函数 模 要快型得增方 方 方方 方 方多长案 案 案案 案 案一 二 三.一 二 三速从度中 你对“指数爆 炸”的函数有 什么新的理解？
5500
O00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010111112121313141415151616171718181919202021212222
…
…
0
300
10
214748364.8 107374182.4
y
y0.42x1
140 120
100
y 10x
80
60
40 20
y 40
o
24
6
8
10 12 x
y 方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：
225500
底数为2
220000
115500
你能通
过图象描述
110000
一下三种方 案的特点吗？
在理想环境中,种群数量呈指数增长;在有限 制的环境中,种群数量的增长将由指数增长转变 为对数增长,并逐渐趋于稳定.那么,应如何选择 不同的函数模型描述这些现象呢？
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，
而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占
3
40
0
30 资金10的增长差1.6异有什 1.6
4
40
0
40
10 么认识3.？2
3.2
5
40
0
50
10
6.4
6.4
6
40
0
60
10
12.8
12.8
7
40
0
70
10
25.6
25.6
8
40
0
80
10
51.2
51.2
9
40
0
90
10
102.4
102.4
10 40
0
100
10
204.8
…
…
30 40
…
…
…
你能用数学语言描述符合公司奖励方案的
条件吗? ①销售利润达到10万元时，按销售利润
进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司 总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等 式表示为_1_0_≤_x_≤_1_0_0_0___.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为
请同学们对函数增长情况进行分析,方法 是列表观察或作出图象观察.
方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长 情况：
三种方案每天回报表
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元 增加量/元 y/元 增加量根/元据表y格/元中所提增加量/元
1
40
0
10 供的数据,你0对.4三种方0.4
2
40
0
20 案分10别表现出0.8的回报 0.8