当 时（界面处），
当
时，
求得
得到界面前沿液相中溶质分布表达式（指数衰减曲线）：
（此式由美国W.A.Tiller; K.A.Jacson;J .W.Rutter; B.chalmars等四人于1953年提出）
● 该式只适用于稳定生长阶段 ● K0>1仍适用
四、四种溶质再分配的比较
a— 平衡凝固 b— 液相中只有扩散 c— 液相部分混合 d— 液相均匀混合
§5-2 成分过冷
一、成分过冷形成的条件及判据 二、成分过冷的过冷度 三、影响成分过冷的因素 四、成分过冷的本质
一、成分过冷形成的条件及判据
重庆大学金属凝固原理第5 章单相合金的凝固
按照液态金属凝固过程中晶体形成的特点，合 金可分为单相合金和多相合金两大类。单相合金 是指在凝固过程中只析出一个固相的合金，如固 溶体、金属间化合物等。纯金属结晶析出单一成 分的单相组织，可视作单相合金凝固的特例。 多相合金是指凝固过程中同时析出两个以上新相 的合金,如具有共晶、包晶或偏晶转变的合金。
· 平衡凝固时的溶质再分配（固、液中溶质均能扩 散均匀化）
· 近（准）平衡凝固时的溶质再分配（假设固相中 溶质无扩散） 液相均匀混合（有强烈对流和搅拌） 液相中只有扩散（液相中无对流） 本课程内容 液相部分混合（液相中既有扩散，也存在部分 对流）(硕士生研究生课程内容)。
（非平衡凝固时的溶质再分配为博士生课程内容）
· 单向（定向）凝固过程铸锭中成分的变化
· 分析微观偏析（晶粒内偏析）过程成分变化
· 利用此式提纯合金
（4）适用范围
· 此定理在液相充分搅拌情况下较准确。否则有误差
· 在凝固末端，即剩下最后一滴液体时，此定理不成立
此时有
，由
即凝固末端不能应用此定理
· 对K0>1合金，此定理仍成立
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配
② 凝固过程任一温度
时：
，
设固相内平均成分为 ，液相为 ，有
,
则：
三、近（准）平衡凝固时的溶质再分配
③ 凝固到平衡固相线
时：
；有
,
由于
，则
，还有液体须继续凝固
三、近（准）平衡凝固时的溶质再分配
④ 接近凝固终了
时：
状态图中的Cs为近平衡凝固时
的固相线。
三、近（准）平衡凝固时的溶质再分配
⑤ 凝固终了
出多余的溶质原子（或溶剂原子）,并富集在界面的
液体中，造成成分分离 的现象。 这是合金凝固过程的一大特点，对凝固过程影响 极大。
为描述溶质再分配的程度，引入平衡分配系数Ko 为便于研究，假设合金的固、液相线为直线，则K0为常数（ 合金成分一定）。根据K0的值不同，状态图分成两大类：
单相合金凝固过程的溶质再分配分为：
在这种情况下，界面上排出的溶质原子只能通过扩散缓慢地向液
体内部运动，得不到充分的均匀化，于是界面前沿出现一个溶质 富集区。
假设合金单向凝固，界面前存在正温度梯度，以K0<1为例。
①（凝1固）开凝始固过程 时：
，
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配
（1）凝固过程
② 凝固过程任一温度
时：
，
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配
假设剩下的液体很多， dfs和
由于
，
，
，代入上式，整理后为：
两边积分后有：
当
时，
代入后有，
的杠杆定理：
故得到近平衡凝固时 （Scheil公式）
Scheil公式表明：只要知道固相形成多少（即fS已知）
或剩下的液相多少（即 fL已知），就可计算出该界面处
固相成分 或液相成分 。
（3）应用
Scheil公式可应用于以下三个方面：
规律
在稳定生长阶段，设界面
以R速度向前推进，界面前
沿的液相浓度为CL(x)，在 距离x处，单位面积单位时
间内向液体内部排走了m1 个溶质原子，有：
(DL—溶质在液相中的扩散系数)
其扩散速度为：
界面以R速度推移，向x处提供了m2个溶质原子
其提供溶质原子的速度为：
由于稳定生长，有：
整理后为：
Байду номын сангаас
此二阶齐次微分方程的通解为 ：
时：
匀， 存在微观偏析.
，铸锭中成分不均
（2）微观偏析的定量描述
设凝固过程中某一时刻，形 成
的固相分数为fs(液相分数为 1-fs)。
当固相增加dfs时，则排出的 溶
质量为(CL-CS)dfs，使剩下的 液
体[1-(fs+dfs)]的浓度升高dCL ，
则有(CL-CS)dfs=[1(fs+dfs)]dCL
二、平衡凝固时的溶质再分配
平衡凝固指凝固速度极度缓慢，使液相和固相中的溶质
得以充分扩散均匀化。假设合金是从左向右进行单向凝 固，固-液界面前沿存在正温度梯度，以K0<1合金为例 。
① 开始凝固
时，
，
二、平衡凝固时的溶质再分配
② 凝固过程中任一温度（ ）时，固-液界面上成 分为：
设固、液相质量分数分别为fS、fL，则fS+fL=1，根据质量
凝固过程不仅发生金属的结晶，还伴随有体积 的收缩和成分的重新分配，它决定液态成形产品 的组织和性能。本章将讨论单相合金材料凝固过 程的基本原理。
§5-1 凝固过程的溶质再分配 §5-2 成分过冷 §5-3 成分过冷与单相合金宏观生
长方式
§5-1 凝固过程的溶质再分配 一、单相合金凝固过程的特点
以K0＜1的合金为例。
在凝固温度区间任一温度T时：析出固相成分Cs<Co 析出液相成分CL>Co
发现在整个凝固过程中，固-液界面处固相的成分始 终低于固-液界面处液相的成分（对K0<1合金），多 余的溶质原子被排挤到界面上的液体中，使溶质原 子在界面富集，并逐渐向液体中扩散均匀化。
溶质的再分配—合金在凝固过程中，已析出固相排
守恒有 ：
，
二、平衡凝固时的溶质再分配
③ 接近凝固终了
时，
，
二、平衡凝固时的溶质再分配
④ 凝固终了
时：
（单向凝固锭中无偏析）
三、近（准）平衡凝固时的溶质再分配
1. 固相无扩散，液相均匀混合时的溶质再分配
假设合金单向凝固，界面前沿存在正温度梯度， 为例
（1）凝固过程
① 凝固开始
时：
，
三、近（准）平衡凝固时的溶质再分配
（1）凝固过程
③ 凝固到平衡固相线
时：
，
在T1温度下,如果凝固速度R不变,则 此时为稳定生长。
，
不变，
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程
④ 接近凝固终了
时：
，
2. 固相无扩散，液相中只有扩散时的溶质再分配 （1）凝固过程
⑤ 凝固终了 时：
（2） 稳定生长阶段，界面前沿液相中溶质分配