2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）(A)111011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(B)101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(D)101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】（A）【解析】3110110011011=0001001J E J λλλλλ--⎛⎫⎪=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭令，则特征值（-1），123===1.λλλ则特征值为010=1001) 2.000E J r E J λ-⎛⎫⎪-=--= ⎪ ⎪⎝⎭当时，，可知（()3123111111=01101110===1.001001A A E A λλλλλλλλ---⎛⎫⎪-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭选项，令，则由解得()011=1=001 2.000E A e E A λ-⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎝⎭此时当时，，可知101=0111,1,1.=1) 1.001B B B r E B λ-⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001C C r E C λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭C选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001D D D r E D λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（E A E J --由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).可知答案选A 。

（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）(A)()(),r A AB r A =(B)()(),r A BA r A =(C)()()(){},max ,r A B r A r B =(D)()(),TTr A B r A B=【答案】（A）【解析】(,)(,)().C AB C A r A C r A AB r A ===设，则可知的列向量可以由的列向量线性表示，则（7）设随机变量X 的概率密度()()()(){}211,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（）(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5【答案】（A）【解析】{}{}(1)(1)()102f x f x f x x P X P X +=-=<=>由知，关于对称，故{}{}{}{}20022102()0.6P X P X P X P X f x dx <+≤≤+>=≤≤==⎰，{}{}200.400.2P X P X ∴<=⇒<=（8）设总体()212,,,,,nX NX X X X μσ 服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（）(A)00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝(B)00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受(C)00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝(D)00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受【答案】(A)【解析】211,~(,),(0,1)ni i X X X X N N n μσ==∑10.0250.0250.05,.u u αα=所以为上分位点20.0005=0.001.u α>0.0250.0005,.u u A >又因为故选二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e k x →-⎛⎫== ⎪+⎝⎭若则__________.【答案】-2【解析】011tan 1lim 1sin 1tan sin 01tan lim ,1tan x x kxx kxx x ex →-⎛⎫-⎪+⎝⎭→-⎛⎫= ⎪+⎝⎭由e=得0011tan 1tan 21=limlim ,sin 1tan x x x x kx x kx k→→---⋅==+故 2.k =-（10）()()()()20,021,2xf x y f x y ==设函数具有阶连续导数，若曲线过点且与曲线在点处()10xf x dx ''=⎰相切，则__________.【答案】2ln 22-【解析】()()11100()(1)(1)(0)2ln 2202ln 22xf x dx xf x f x dx f f f '''''=-=-+=-+=-⎰⎰（11）()(,,),1,1,0F x y z xyi yz j zxk rotF =-+=设则.【答案】1,0,1)-（【解析】(,,)F x y z xyi yz j zxk=-+(,,)(1,1,0)(1,0,1)ij krotF x y z yi z j xk x y z xyyzzxrotF ∂∂∂==--∂∂∂-∴=- （12）22210LL x y z x y z xyds ++=++==⎰设为球面与平面的交线，则.【答案】0【解析】0.LL xoz y xyds =⎰ 由曲线关于面对称，被积函数关于是奇函数，故（13）()21212122,=A A A αααααα++设阶矩阵有两个不同特征值，是的线性无关的特征向量，且满足，A =则.【答案】-1【解析】22121212=1.AA αααααα+++由（）（），可知有特征值，对应的特征向量为1 1.21 1.A A A --则可知的特征值只能取或由于矩阵有个不同的特征值，则可知的特征值恰好为和则1(1) 1.A =⨯-=-（14）=AB AC BC ∅设随机事件与相互独立，与相互独立，，若()()()11,,24P A P B P AC AB C ==== ()P C =则.【答案】14【解析】{}{}()()1)()()()4P AC AB C P AC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ===+- （1()()()1112().11()()()()444()022P C P A P C P C P A P B P C P ABC P C =⇒=⇒=+-⋅+-三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）2.x e ⎰求不定积分【解析】222111=arctan arctan 224xx x e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰原式再用整体代换去根号：()()2222121xtttt ++()33222=2133xt t C e C ++=-+()32211=arctan 126x x e e C---即原式（16）（本题满分10分）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值【解析】2432,x y z x y z π++=设圆的半径为，正方形的边长为，正三角形的边长为，则其面积和223223(,,),(,,)243244S x y z x y z S x y z x y z y z πππ=++=++++=即是求在约束条件下的最小值是否存在.2223(,,,)(2432),4L x y z x y z x y z λπλπ=+++++-设220240,).330224320xy z x L x x L y y L z L x y z z ππλλλπ⎧'=+=⎧=⎪⎪⎪'=+=⎪⎪⎪⎪=⎨⎨'=+=⎪⎪⎪⎪'=++-=⎪⎪=⎩⎪⎩解得唯一驻点由实际问题可知，最小值一定存在，（17）（本题满分10分）()33=2.x I xdydz y dzdx z dxdy ∑∑=+++⎰⎰设是曲面【解析】2200,331x y z =+≤∑补面：：的后侧，则22233333322012201312240=(2)=(2)(2)(133)0(=(133)33)2(4x y z I xdydz y dzdx z dxdyxdydz y dzdx z dxdy xdydz y dzdx z dxdyy z dxdydz dxy z dydzdx d r rdr πθπ∑∑+∑∑Ω-+≤++++++-+++=++-Ω∑∑++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中为与所围成的半椭球体）12024101234142.1245r dxx x dx ππ+-+==⎰⎰（18）（本题满分10分）(),().y y f x f x R '+=已知微分方程其中是上的连续函数（I）(),f x x =若求方程的通解；（II）()f x T T 若是周期为的函数，证明：方程存在唯一的以为周期的解.【解析】（I）()1xxxy exe dx C Cex --=+=+-⎰（II）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()00000()1=.1xx t t T ux Tx x Ttx Tu T Tx xxuTxuuTTTx xx u uTxtTuT Ty x e f t e dt Cy x T ef t e dt Ce f u T e du Cef u e du Cee f u e du f u e du Ce e f u e du f u e du Ce e f t e dt C C f u e du y x T y x e--=+----+-------------=++=+=++=+=++++=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰微分方程解函数为则若即时由于()()01.1uT TC f u e du y x e--=-⎰为确定常数，故符合条件的周期解唯一（19）（本题满分10分）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-= 设数列满足：证明收敛，并求【解析】10,0,k x x >假设110,101110.k x xk ke x e x x n n x +->->>=>=由可知{}()()()()()(){}()111.11111,0,.1000,01,0lim lim lim 11,=0lim =0.n n nn n n x x n n n x n n x x x x n n xn x x n n n n n A A n n x e e x x n x nx x e f x xe e f x xe f x e x f x f x x xex x A x e e Ae e A x +++→∞→∞→∞→∞---=-='=--=>->>=<<-<=-=-故数列有下界令则故单调增加当时，故所以数列单调减少所以存在，设为，则解得，即（20）（本题满分11分）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数(I)123(,,)0f x x x =求的解；(II)123(,,)f x x x 求的规范形.【解析】(I)22212312323131231232133(,,)=()()()0,=0111=0.=011,.=0100.111111111=011011011.10011002f x x x x x x x x x ax x x x x x x A x x x ax a x Ax A a a a -+++++=-+-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎩⎝⎭⎝⎭=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由则应有令即由可221,.12.a x k k a -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭≠知当时，方程组有非零解其中为任意常数当时，方程组只有零解(II)222123123212322123122(,,).2213=120306213120(1018)0,306=5=5=0.(,,).a f y y y y y y a B E B f z z z z z λλλλλλλλλλ≠=++=-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭---=-=-+=--+-=+当时，此时显然可知二次型正定，则此时对应的规范形为：当时，方法一：（正交变换法）令二次型对应的实对称矩阵为，则由解得则可知规范形为：方法二：（配方法）由于2222221231121323123231123222231231233133(,,)2(3)262()().22213)22),(,,).f x x x x x x x x x x x x x z x x x z x x f z z z z z z x =-+++=-+++⎧=-+⎪⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=⎪⎩令得规范形为（21）（本题满分11分）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I);a 求(II).AP B P =求满足的可逆矩阵【解析】(I)12121300,0111210, 2.27111a a A B a a a ====-+-==--由于则可知(II)112233122122122122122122()130011012011012011.27211103603300000063646421,21,21101010A B p k p k p k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ 由解得12312323123.364646=121212,.k k k P k k k k k k k k ⎫⎪⎪⎪⎭---⎛⎫ ⎪-+-+-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭故解得可逆矩阵其中（22）（本题满分11分）{}{}111,2X Y X P X P X Y λ===-=设随机变量与相互独立，的概率分布为服从参数为的泊松分布..Z XY =令(I)(),;Cov X Z 求(II).Z 求的概率分布【解析】(I)()()()()()()22,=01,=.Cov X Z E XZ EXEZEX EX EY E XZ E X Y Cov X Z E XZ EXEZ λλλ-===⇒==-=，，(II){}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}01101010002211122!111,1,2,.22!k k Z P Z P X Y P X Y Y P Y e e P Z k P X Y k P Y k k e P Z k P X Y k P Y k k k λλλλλ---±±===-=+====+==========-==-===== 的取值为，1，2，，，，，，其中（23）（本题满分11分）121(,),,2(0,),,,..xn X f x e x X X X X σσσσσσ-=-∞<<+∞∈+∞ 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本记的最大似然估计量为(I)ˆσ求；(II)ˆˆ().E D σσ求和【解析】(I)112111=,,21ln (ln ln )2ln 11ˆ()0ixni i ni i nni i i i L e x x L x d L X d n σσσσσσσσ-====-∞<<+∞=--∴=-+=⇒=∏∑∑∑设则令(II)0122222122201ˆ=21111ˆ()()21().x xni i xni i xx x E E X E X e dx e dx n x D D X D X EX E X e dx n n n n x e dx n n σσσσσσσσσσσσσσ--+∞+∞-∞=-+∞-∞=-+∞=======-=-=-=∑⎰⎰∑⎰⎰。