高中数学解题方法2013年高考数学二轮复习 换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：代数换元、三角换元、均值换元等。

例如解不等式：0224≥-+x x ，先变形为设)0(2>=t t x ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现[]1,0∈x ，设α2sin =x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22,0α，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

如变量y x ,适合条件)0(222>=+r r y x 时，则可作三角代换θθsin ,cos r y r x ==化为三角问题。

均值换元，如遇到S y x =+形式时，设t S y t S x -=+=2,2等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

题型一：代数换元例1：（1）方程1313++-xx＝3的解是_______________ （2）x x x f --=2)(的值域是___________. (3)2log log )12(2)22(2<⋅--x x 的解为_____________________________. 变式练习：已知221)1(x x x x f +=-，则=)(x f _________________。

例2 求函数43P x x =- 解 设4a x b x =-=，则224a b +=，0a ≥，0b ≥.在平面直角坐标系xoy 中，点(,)M a b 是圆弧224(0,0)x y x y +=≥≥上的点，如图所示。

2P a=+=，所以P表示点(,)M a b到直线:0l x=的距离的2倍。

过点(,)M a b作直线:0l x=的平行线l，则P表示直线l与l的距离的2倍。

设平行直线l与l 的距离为d.则当l过点A时（直线1l），d取最小值1，此时2P=；当l与圆弧相切时（直线2l），d取最大值2，此时4P=.所以函数P=的值域为[2,4].此题通过做a b==的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。

当然由224a b+=，0a≥，0b≥可设2cos,2sin,02a bπααα==≤≤则是三角换元。

题型二：均值换元例1：（1）已知,1->x，求13++xx的最小值（2）设实数yx,满足0122=-+xyx，则yx+的取值范围是___________。

例2 已知,,x y z是正数，求证32x y zy z x z x y++≥+++证明设,,a y zb x zc x y=+=+=+，则,,222b c a a c b a b cx y z+-+-+-===.所以222x y z b c a a c b a b cy z x z x y a b c+-+-+-++=+++++3()()()2222222b ac a b ca b a c c b=+++++-32≥3322≥=例3 已知1,1,1a b c>>>. 求证：22212111a b cb c a++≥---.证明：由1,1,1a b c>>>，可设1,1,1,0,0,0a xb yc z x y z>>>－＝－＝－＝.于是222222(1)(1)(1)1114()412a b c x y zb c a y z xx y zy z x+++++=++≥+---=+≥⋅=＋例4． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：B B A 2=+，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求2cos C A -的值。

【分析】 由已知“B B A 2=+”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“0120=+B A °”进行均值换元，则设⎩⎨⎧-+αα°＝°＝6060C A ，再代入可求αcos 即2cos C A -。

【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°, 由A ＋C ＝120°，设⎩⎨⎧-+αα°＝°＝6060C A ，代入已知等式得： 1cos A ＋1cos C ＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sin αα-＋11232cos sin αα+＝cos cos sin ααα143422-＝cos cos αα234-＝－22, 解得：cos α＝22， 即：cos A C -2＝22。

题型三：三角换元例:1： 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值和最小值。

解 设cos ,sin x r y θθ==，则2245cos sin 5r r θθ-=，2545cos sin r θθ=- 所以22251045cos sin 85sin 2S x y r θθθ=+===-- 所以当sin 21θ=时，max 103S =；当sin 21θ=-时，min 1013S =. 例2： 已知224a b +=，229x y +=，求ax by +的最大值。

解 由224a b +=，可设2cos ,2sin a b αα==；由229x y +=，可设3cos ,3sin x y ββ==.于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤又当2()k k Z αβπ-=∈时，上式中等号成立。

即ax by +的最大值是6. 例3.求函数的值域21x xy -=。

解：令=x t sin ，t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ则：tt y 2sin 1sin -= ∵t t cos sin 12=-当t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππ时∴t y tan = ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt ∴值域为()∞∞-, 例4.已知R b a ∈,，且122≤+b a ，求证：2222≤-+b ab a 。

证明：设θθsin ,cos r b r a ==，其中[)πθ2,0,1∈≤r 则θθθθ2222222sin cos sin 2cos 2r r r b ab a -+=-+242sin 22sin 2cos 222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πθθθr r r ∴2222≤-+b ab a 。

原不等式得证。

题型四：解析几何中换元法的运用1. 已知实数y x ,满足01)2()2(22=--+-y x ，求yx y x ,2+的最大值与最小值。

2. 已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆是是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？3. 已知x x y 264++-=的最大值。

解：令x v x u 26,4+=-=； 易得1147722222=+⇒=+v u v u ； 令θθsin 14,cos 7==v u ；所以)sin(21sin 14cos 7ϕθθθ+=+=y 21max =y4.双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． （Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+解：由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立 将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。