（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
cscxdx
1 dx sinx
ssiinn2xxdx
1
1co2sxd(cox)s u cx os
11u2 du
1 1u2
1( 1 1 ) 21u 1u
1 2(1 1udu 1 1ud)u12l
n1uC 1u
1ln1coxsC. 2 1coxs
类似地可推出 se xc d ln s xe x t ca x n C .
1 sin2
xcos12
xdx
(csc 2 tan x
x sec2x)dx cot x C
csc2xsec2xdx
cotxtanxC
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx x
1 (3) d(arctanx )1x2dx
(4 ) d (1 sin 2 x )co 2 xsdx
2
3.2、换元积分法
我们有 sinxdxcosxC公式
sin5x dx该复合函数不能直接积分
形式不一致
被积函数 sin5x 不能变，变积分变量 dx凑成d(5x)形式
dx 1 d(5x)
si5 nxdx1 5s5 i5 nxd (5x) 令u5x 151sicnuods5uxC15cosuC
5
1
解 设曲线方程为yf(x), 根据题意知 dy 2 x,
dx
2xd x x 2C , f(x)x2C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c1,
所求曲线方程为 yx21.
函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
.
◆基本积分表 P94
1
( 7 )
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法
一、直接积分法
例题：
dx
(1 )
(2) x2 xdx 不能漏写
5
积分常数
x3
x 3 dx x 31 C 3 1
1 2x2
C
x 2dx
5 1
x2 C
5 2
1
2
7
x2
sexd cx csxc(2)dx
l n csxc( )coxt( )C
2
2
lns exctaxnC 由上题结果可知
补充公示
( 1 )5 sx e d c ls n xx e tc a x n C ;
( 1 )6 cx s d c lc n xx s c cx o C ; t
(1)7 a2 1x2d x1 aarca xt aC ;n
C
7
(3)、2xexdx
原 式(2e)xdx(2e)x ln2(e)
C
2xex C ln21
3
15
(5) [
3sinx]dx
2(1x2) 31x2 x
31 1 1
1
21 x2d x 31 x2d x 5 xd x 3 sinx d x
3 arctan x 1 arcsin x
2
3
5 ln | x |3cosx C
u3
sin3 x
C C
3
3
一般地，要求 g(x)dx积分， 又不能直接利用公式
若被积表达式能凑成如下形式：
g( x)dx f(x)(x)dx f (x)d(x)
令u(x)
积分公式
即
f (u)du F ( u ) C
还原
F(x)C
该方法利用复合函数微分的逆过程
因此，这种计算不定积分的方法又称为凑微分法，
(sin 2xcos32xsin12x)dx
1cosx3tanxcotxC 2
[x2 (2)x 2]dx 3x 1x3 1 (2)x2ln|x|C 3 ln2ln33
x4
(6)
dx 1 x2
x4 11 dx
1 x2
(7) tan2 xdx
(sec2 x1)dx
(x2 1)(x2 1)1
dx 1x2
tanxd(taxn)
udu
u2 2
C
tan2 x C 2
1 dxd(arcsxi)n
1x2
dx
1
(arcsinx)2 1x2 u 2 du
uarcsinx
1 C arcsin x
x dx x2 1
解： xdx1d(x21)
xcosx(2)dx
解 ： xdx1d(x2) 2
2
原 式 1
t1(x)
F(t)C F[ 1(x)]C
注: 第二换元法中用来代换的 (t )
可导且存在反函数 t 1(x)
例求
a2x2d(a x0).
解
xasitn , t 22
d x a cto dst
a 2 x 2 a 2 a 2 s2 t i n a ctos
换元后
得
a 2 x 2 d x a cto a csto dst
1
原 式 1 coxs2)(d(x2)
d(x21)
2
2 x21
1si nx(2)C
1lnx2 1C
2
2
例 求 co3xsco2xsd. x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3 xc so 2 x s1(cxo cso 5 x )s,
ax
a2 co2tsdta2 1cos2tdt
a2 ta2sin2t C
2
2
4
t
a2 x2
t arcsinx
a2 a2 t sintcotsC
a 22
a2arcxsi1nx a2x2C
2 a2
求
1 d(xa0). x2a2
解
xata t nd x ase 2tc dt t
1 x2
a2
dx
第三章 不定积分 不定积分的概念与性质 不定积分的计算
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数 二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念
引例：已知物体的运动方程为 s s(t ),则物体
运动的即时速度为 v(t)s(t);如果已知物体的
速度方程为 v v(t) ,则物体运动的位移如何计
一个原函数。
例如:因为 sinxcosx xR
所以 s in x 是 cos x 在 , 内的一个原函数.
问题： (1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
1）如果有 F(x)f(x)，则 F(x)C f(x)
2）如果 F(x)G (x)f(x，)则 F(x)G (x)C （ 常 数 。）
1
x2 dx
arctanxC arccotxC
( ( (
1) 2 ) 3)
(
0 k x
d d
x x d
C
kxC x 1 x1
1
1)
C
( ( (
8 9 1
) ) 0
)
s
1 in co
1 x
s
x d x
2
x d
x
d x arcsinxC arccosxC
cosxC
sinxC
(4
)
1 x
d
x
ln x C
as1etcase2ctdt
2
,
2
sectdtlnsetctatnC
lnax x2aa2C. ln x x2a2C1
x2a2 x t a
其中 C 1Cln a
例求
1 d(xa0). x2a2
解 令x a se td c a x ste ta tc d t n t 0,
x21a2dxasaetctatntantdt 2
co2sxsin2
d x
x
1 dx4csc22xdx cos2xsin2x
412csc22xd2x
u 2x
2 c s c 2 u d u 2 c o tu C 2 c o t2 x C
sin2xcoxsdx coxsdxd(six)n
usinx
原式 si2n x(dsx i)n u2du
(1)8 1 d xarcxsiC n ;
a2x2
a
2、第二换元法
凑微分法是通过中间变量 u(x)将积分
f[(x)]'(x)d化x成 f(u)du,下面要介绍
的换元积分法是通过变量代换 x(t)将积分
化为积分 f[(t)]'(t)dt
x(t)
f ( x ) d x f [( t ) ] ( t ) dt
结论：如果函数 f ( x ) 在区间 I 内有原函数F ( x ) ，则 f ( x )
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F(x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
二、不定积分的概念
函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称
c3 o x cs2 o x2 s d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d s
1six n1si5nxC. 2 10
dx
a2 x2
原式
a
dx 1( x )2
a
d(x)
a 1 ( x )2
a
arcsixnC a
dx
a2 x2
原式 a2dxx2